《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

19. (6分)先化简,再求值：
(1)$ (2 a-1)^{2}-2(a+1)(a-1)-a(a-2) $,其中$ 1-a^{2}+2 a= 0 $；
(2)$ \left[\left(x+2 y-\frac{3}{2}\right)\left(x-2 y+\frac{3}{2}\right)+2 y(2 y-3)+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right] ÷\left(-\frac{1}{3 x}\right) $,其中$ x= -1 $.

答案：
(1) 原式 $=a^{2}-2a + 3$，因为 $1 - a^{2}+2a = 0$，所以 $a^{2}-2a = 1$，则原式 $=1 + 3 = 4$。
(2) 原式 $=-3x^{3}$，当 $x = -1$ 时，原式 $=3$。

20. (9分)阅读下列材料,解答相应的问题.
数学知识伴随着人类文明的起源而产生,人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料,如古巴比伦楔形文字泥板书,古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
$ a b= \frac{1}{4}\left[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\right] $, ①
$ a b= \frac{1}{2}\left[(a+b)^{2}-a^{2} $______$ \right] $. ②
(1)补全材料中公式②中的空缺部分；
(2)验证材料中的公式①；
(3)当$ a+b= 5 $,$ a-b= 7 $时,利用公式①计算$ a b $的值.

答案：
(1) $-b^{2}$
(2) 公式①的右边 $=\frac{1}{4}[a^{2}+b^{2}+2ab-(a^{2}+b^{2}-2ab)]=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}+2ab - a^{2}-b^{2}+2ab)=\frac{1}{4}\times4ab = ab =$ 公式①的左边，
∴ 公式①成立。
(3) 把 $a + b = 5$，$a - b = 7$ 代入公式①，得 $ab=\frac{1}{4}\times(5^{2}-7^{2})=\frac{1}{4}\times(-24)=-6$。