《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

阅读教材$P_{9}\sim P_{10}$内容,归纳结论：
一般地,式子____叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$根的判别式,用“$\Delta$”表示。
$\Delta＞0\Leftrightarrow方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有____的实数根；
$\Delta=0\Leftrightarrow方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有____的实数根；
$\Delta＜0\Leftrightarrow方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$____实数根。

答案： $b^{2}-4ac$ 两个不等 两个相等 无

1. 关于$x的方程4x^{2}-4x= -1$的根的情况是()
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 无实数根

答案： A

2. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+2x+m= 0$没有实数根,则$m$的取值范围是()
A. $m≥1$
B. $m≤1$
C. $m＞1$
D. $m＜1$

答案： C

3. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-x+k+1= 0$有两个不等的实数根,则$k$的取值范围是____。

答案： $k＜-\frac{3}{4}$

4. 已知关于$x的一元二次方程kx^{2}-(2k+1)x+k+2= 0$有两个实数根,求$k$的取值范围。

答案： $k\leqslant\frac{1}{4}$且$k\neq0$

5. 已知关于$x的一元二次方程\frac {1}{2}x^{2}-qx+q-5= 0$。求证：无论$q$取何值,此方程总有两个不等的实数根。

答案： 【解析】：本题可根据一元二次方程根的判别式来证明方程根的情况。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta\lt0$时，方程没有实数根。
在方程$\frac{1}{2}x^{2}-qx + q - 5 = 0$中，$a = \frac{1}{2}$，$b = -q$，$c = q - 5$，则$\Delta = (-q)^{2}-4\times\frac{1}{2}\times(q - 5)$，化简可得：
$\begin{aligned}\Delta&=q^{2}-2(q - 5)\\&=q^{2}-2q + 10\\&=q^{2}-2q + 1 + 9\\&=(q - 1)^{2}+ 9\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(q - 1)^{2}\geq0$，那么$(q - 1)^{2}+ 9\gt0$，即$\Delta\gt0$。
所以无论$q$取何值，此方程总有两个不等的实数根。
【答案】：证明过程如上述解析，可得出无论$q$取何值，方程$\frac{1}{2}x^{2}-qx + q - 5 = 0$总有两个不等的实数根。