搜索
阅读教材$P_{37}\sim P_{39}$内容,归纳结论：
一般地,可以用配方法将二次函数$y = ax^{2}+bx + c$转化为顶点式______,其函数图象是一条抛物线,对称轴是______,顶点坐标是______．
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向______；当$x$______时,$y随x$的增大而减小,当$x$______时,$y随x$的增大而增大；顶点是抛物线的最______点；当$x = $______时,二次函数有最______值,其值是______．
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向______；当$x＜-\frac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而______,当$x＞-\frac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而______；顶点是抛物线的最______点；当$x = $______时,二次函数有最______值,其值是______．
一般地,可以用配方法将二次函数$y = ax^{2}+bx + c$转化为顶点式______,其函数图象是一条抛物线,对称轴是______,顶点坐标是______．
(1)当$a＞0$时,抛物线的开口向______；当$x$______时,$y随x$的增大而减小,当$x$______时,$y随x$的增大而增大；顶点是抛物线的最______点；当$x = $______时,二次函数有最______值,其值是______．
(2)当$a＜0$时,抛物线的开口向______；当$x＜-\frac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而______,当$x＞-\frac{b}{2a}$时,$y随x$的增大而______；顶点是抛物线的最______点；当$x = $______时,二次函数有最______值,其值是______．
答案：
第1课时 二次函数
$y = ax^{2}+bx + c$的图象和性质
知识梳理
$y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
$x = -\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$
(1)上 $＜-\frac{b}{2a}$ $＞-\frac{b}{2a}$ 低
$-\frac{b}{2a}$ 小 $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
(2)下 增大 减小 高 $-\frac{b}{2a}$ 大
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
$y = ax^{2}+bx + c$的图象和性质
知识梳理
$y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
$x = -\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$
(1)上 $＜-\frac{b}{2a}$ $＞-\frac{b}{2a}$ 低
$-\frac{b}{2a}$ 小 $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
(2)下 增大 减小 高 $-\frac{b}{2a}$ 大
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$
1. 已知二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$．
(1)运用配方法化成$y = a(x - h)^{2}+k$的形式．
(2)如图,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$的开口向______,顶点坐标是______,对称轴是______．
(4)由函数的顶点式可知,当$x = $______时,函数有最小值______．
(5)当$x$______时,$y随x$的增大而增大；当$x$______时,$y随x$的增大而减小．
(6)将函数$y= \frac{1}{2}x^{2}$的图象先向______平移______个单位长度,再向______平移______个单位长度,就得到函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$的图象．
(1)运用配方法化成$y = a(x - h)^{2}+k$的形式．
(2)如图,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$的开口向______,顶点坐标是______,对称轴是______．
(4)由函数的顶点式可知,当$x = $______时,函数有最小值______．
(5)当$x$______时,$y随x$的增大而增大；当$x$______时,$y随x$的增大而减小．
(6)将函数$y= \frac{1}{2}x^{2}$的图象先向______平移______个单位长度,再向______平移______个单位长度,就得到函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-x - 4$的图象．
答案：
(1)$y=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-\frac{9}{2}$
(2)略
(3)上 $(1,-\frac{9}{2})$ $x = 1$
(4)1 $-\frac{9}{2}$
(5)$＞1$ $＜1$
(6)右 1 下 $\frac{9}{2}$(或下 $\frac{9}{2}$ 右 1)
(1)$y=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}-\frac{9}{2}$
(2)略
(3)上 $(1,-\frac{9}{2})$ $x = 1$
(4)1 $-\frac{9}{2}$
(5)$＞1$ $＜1$
(6)右 1 下 $\frac{9}{2}$(或下 $\frac{9}{2}$ 右 1)
2. (教材$P_{39}$练习改编)写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,并求当$x$为何值时,$y$取得最小值或最大值．
(1)$y = 3x^{2}+2x$；
(2)$y = - 2x^{2}+8x - 8$．
(1)$y = 3x^{2}+2x$；
(2)$y = - 2x^{2}+8x - 8$．
答案：
【解析】：
(1)对于抛物线$y = 3x^{2}+2x$，将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=3x^{2}+2x\\&=3(x^{2}+\frac{2}{3}x)\\&=3(x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})\\&=3[(x + \frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{9}]\\&=3(x+\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{3}\end{aligned}$
因为$a = 3\gt0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$。
当$x = -\frac{1}{3}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{3}$。
(2)对于抛物线$y=-2x^{2}+8x - 8$，将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^{2}+8x - 8\\&=-2(x^{2}-4x + 4)\\&=-2(x - 2)^{2}\end{aligned}$
因为$a=-2\lt0$，所以抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,0)$。
当$x = 2$时，$y$取得最大值$0$。
【答案】：
(1)开口方向：向上；对称轴：直线$x = -\frac{1}{3}$；顶点坐标：$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$；当$x = -\frac{1}{3}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{3}$。
(2)开口方向：向下；对称轴：直线$x = 2$；顶点坐标：$(2,0)$；当$x = 2$时，$y$取得最大值$0$。
(1)对于抛物线$y = 3x^{2}+2x$，将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=3x^{2}+2x\\&=3(x^{2}+\frac{2}{3}x)\\&=3(x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})\\&=3[(x + \frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{9}]\\&=3(x+\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{3}\end{aligned}$
因为$a = 3\gt0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$。
当$x = -\frac{1}{3}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{3}$。
(2)对于抛物线$y=-2x^{2}+8x - 8$，将其化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^{2}+8x - 8\\&=-2(x^{2}-4x + 4)\\&=-2(x - 2)^{2}\end{aligned}$
因为$a=-2\lt0$，所以抛物线开口向下，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,0)$。
当$x = 2$时，$y$取得最大值$0$。
【答案】：
(1)开口方向：向上；对称轴：直线$x = -\frac{1}{3}$；顶点坐标：$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$；当$x = -\frac{1}{3}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{3}$。
(2)开口方向：向下；对称轴：直线$x = 2$；顶点坐标：$(2,0)$；当$x = 2$时，$y$取得最大值$0$。
3. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象的顶点坐标为(2,-3)$,求$b$,$c$的值．
答案：
$b = - 4,c = 1$
查看更多完整答案，请扫码查看
