《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

12. 化简求值：$(\frac{9}{x - 4} - x - 4) \div \frac{x - 5}{x - 4}$，其中$x$为不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 3) \geq 1 \\ 4x - 2 ＜ 5x - 4\end{cases}$的一个整数解.

答案： 解:原式$=\frac{9 - x^{2}+16}{x - 4}\cdot\frac{x - 4}{x - 5}=\frac{-(x + 5)(x - 5)}{x - 4}\cdot\frac{x - 4}{x - 5}=-x - 5$.解不等式组$\begin{cases}4x - 3(x - 2)\geqslant1\\x - 5\lt x - 3\end{cases}$,得$2\lt x\leqslant4$.$\because x$为不等式组$\begin{cases}4x - 3(x - 2)\geqslant1\\x - 5\lt x - 3\end{cases}$的一个整数解,$\therefore x = 3,4$.$\because x - 4\neq0,x - 5\neq0,\therefore$把$x = 3$代入,得原式$=-3 - 5=-8$.

13.（潍坊期中）已知$x : y : z = 1 : 2 : 3$，则$\frac{x + 2y}{z} =$_______.

答案： $\frac{5}{3}$

14. 已知$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$，则$\frac{3a - 2b + 5c}{a + b + c} =$_______.

答案： $\frac{20}{9}$ [解析]令$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$,则$a = 2k,b = 3k,c = 4k$,代入原式,得原式$=\frac{3×2k - 2×3k + 5×4k}{2k + 3k + 4k}=\frac{20k}{9k}=\frac{20}{9}$.

15. 已知$3x - 4y - z = 0$，$2x + y - 8z = 0$，则$\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{xy + yz + 2xz} =$_______.

答案： 1 [解析]把$z$看作常数,解方程组$\begin{cases}3x - 4y - z = 0\\2x + y - 8z = 0\end{cases}$,得$\begin{cases}x = 3z\\y = 2z\end{cases}$,$\therefore$原式$=\frac{(3z)^{2}+(2z)^{2}+z^{2}}{3z\cdot2z + 2z\cdot z + 2×3z\cdot z}=\frac{14z^{2}}{14z^{2}}=1$.

16. 已知三个数$x$，$y$，$z$满足$\frac{xy}{x + y} = - 2$，$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，$\frac{xz}{z + x} = - \frac{4}{3}$，则$\frac{xyz}{xy + yz + zx} =$_______.

答案： -4 [解析]先将三个已知条件中的分子转化为相同的字母,得到$\frac{xyz}{xy + yz}=-2,\frac{xyz}{xz + yz}=\frac{4}{3},\frac{xyz}{xy + xz}=-\frac{4}{3}$.分别取它们的倒数是$\frac{xy + yz}{xyz}=-\frac{1}{2},\frac{xz + yz}{xyz}=\frac{3}{4},\frac{xy + xz}{xyz}=-\frac{3}{4}$.将以上三个式子相加,化简得$\frac{xy + yz + xz}{xyz}=-\frac{1}{4}$,两边同时取倒数,得$\frac{xyz}{xy + yz + xz}=-4$.

17. 新课标 运算能力 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$知$x \neq 0$，$\therefore \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$，
$\therefore \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$，
故$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目.
已知$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$的值.

答案： 解:由$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=\frac{1}{5}$知$x\neq0,\therefore\frac{x^{2}-3x + 1}{x}=5$,即$x - 3+\frac{1}{x}=5,\therefore x+\frac{1}{x}=8,\therefore\frac{x^{2}+x + 1}{x^{2}}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-1=8^{2}-1=63$,故$\frac{x^{2}}{x^{2}+x + 1}$的值为$\frac{1}{63}$.