《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

六、（本题满分12分）
21. 新课标 模型观念 （无锡中考）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品. 现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3. 当用600元购买一等奖奖品时，经费共可购买一、二等奖奖品25件.
（1）求一、二等奖奖品的单价.
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方案？

答案： 解：
(1)设一等奖奖品单价为$4x$元，则二等奖奖品单价为$3x$元.依题意，得$\frac{900}{4x}+\frac{900}{3x}=25$，解得$x = 15$，经检验，$x = 15$是原方程的解，且符合题意，$\therefore4x = 60$，$3x = 45$.答：一等奖奖品单价为$60$元，二等奖奖品单价为$45$元.
(2)设购买一等奖奖品$m$件，二等奖奖品$n$件.依题意，得$60m + 45n = 1275$，$\therefore n=\frac{1275 - 60m}{45}=\frac{85 - 4m}{3}$，$\because m$，$n$均为正整数，$\therefore\begin{cases}m = 4\\n = 23\end{cases}$或$\begin{cases}m = 7\\n = 19\end{cases}$或$\begin{cases}m = 10\\n = 15\end{cases}$.答：共有3种购买方案，方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品.

七、（本题满分12分）
22. 辨思维 易错题 （安庆期末）已知关于$x$的分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$.
（1）当$a = 2,b = 1$时，求分式方程的解.
（2）当$a = 1$时，求$b$为何值时分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$无解.
（3）若$a = 3b$，且$a,b$为正整数，当分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$的解为整数时，求$b$的值.

答案： 解：
(1)把$a = 2$，$b = 1$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$中，得$\frac{2}{2x + 3}-\frac{1 - x}{x - 5}=1$，方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$，得$2(x - 5)-(1 - x)(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$，解得$x = -\frac{1}{5}$，经检验，$x = -\frac{1}{5}$是原分式方程的解，$\therefore$分式方程的解是$x = -\frac{1}{5}$.
(2)把$a = 1$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$中，得$\frac{1}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$，方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$，得$(x - 5)-(b - x)(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$，整理得$(11 - 2b)x = 3b - 10$.①当$11 - 2b = 0$时，即$b=\frac{11}{2}$，方程无解；②当$11 - 2b\neq0$时，$x=\frac{3b - 10}{11 - 2b}$，$x = -\frac{3}{2}$时，分式方程无解，即$\frac{3b - 10}{11 - 2b}=-\frac{3}{2}$，$b$不存在；$x = 5$时，分式方程无解，即$\frac{3b - 10}{11 - 2b}=5$，$b = 5$.综上所述，$b=\frac{11}{2}$或$b = 5$时，分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$无解.
(3)把$a = 3b$代入分式方程$\frac{a}{2x + 3}-\frac{b - x}{x - 5}=1$中，得$\frac{3b}{2x + 3}+\frac{x - b}{x - 5}=1$，方程两边同时乘$(2x + 3)(x - 5)$，得$3b(x - 5)+(x - b)(2x + 3)=(2x + 3)(x - 5)$，整理得$(10 + b)x = 18b - 15$，$\therefore x=\frac{18b - 15}{10 + b}$. $\because x=\frac{18b - 15}{10 + b}=\frac{18(b + 10)-195}{10 + b}=18-\frac{195}{10 + b}$，且$b$为正整数，$x$为整数，$\therefore10 + b$必为$195$的因数，$10 + b\geq11$. $\because195 = 3\times5\times13$，$\therefore195$的因数有$1$，$3$，$5$，$13$，$15$，$39$，$65$，$195$. $\because1$，$3$，$5$小于$11$，不合题意，$\therefore10 + b$可以取$13$，$15$，$39$，$65$，$195$这五个数，$\therefore$方程的解$x$为$3$，$5$，$13$，$15$，$17$.又$\because x = 5$为分式方程的增根应舍去，$\therefore b$只可以取$3$，$29$，$55$，$185$，$\therefore$满足条件的$b$可取$3$，$29$，$55$，$185$这四个数.