《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

八、（本题满分14分）
23. 新考向 阅读理解 学习《分式》一章后，老师出了这样一道解方程问题：$\frac{1}{x - 7}-\frac{1}{x - 5}=\frac{1}{x - 6}-\frac{1}{x - 4}$. 要求同学们求出该方程的解. 小明是一个爱动脑筋的好学生. 他按照去分母的方法，求出方程的解为$x=\frac{11}{2}$. 接着他认真观察，发现这样一个特点：方程的解与方程中分母的常数有关，即$x=\frac{7 + 5 + 6 + 4}{4}=\frac{11}{2}$. 接着老师又写了另外一个方程：$\frac{1}{x - 7}-\frac{1}{x - 2}=\frac{1}{x - 6}-\frac{1}{x - 1}$，小明求出它的解为$x = 4$，而$x=\frac{7 + 2 + 6 + 1}{4}=4$.
根据以上规律，回答下列问题.
（1）猜想：$\frac{1}{x - a}-\frac{1}{x - b}=\frac{1}{x - c}-\frac{1}{x - d}(a,b,c,d$表示不同的数，且$a + d = b + c)$的解是__________.
（2）根据你的猜想，求出$\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{x - 3}{x - 4}=\frac{x - 2}{x - 3}-\frac{x - 4}{x - 5}$的解，并写出解题过程.

答案： 解：
(1)$x=\frac{a + b + c + d}{4}$
(2)$x=\frac{7}{2}$ 过程：$\frac{x - 1}{x - 2}-\frac{x - 3}{x - 4}=\frac{x - 2}{x - 3}-\frac{x - 4}{x - 5}$，变形，得$(1+\frac{1}{x - 2})-(1+\frac{1}{x - 4})=(1+\frac{1}{x - 3})-(1+\frac{1}{x - 5})$，即$\frac{1}{x - 2}-\frac{1}{x - 4}=\frac{1}{x - 3}-\frac{1}{x - 5}$，根据规律，得$x=\frac{2 + 4 + 3 + 5}{4}=\frac{7}{2}$.