《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

六、（本题满分12分）
21. 新考向 规律探究 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = 1 + \frac{1}{1\times2}$，$\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = 1 + \frac{1}{2\times3}$，$\sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = 1 + \frac{1}{3\times4}$，…
请利用你所发现的规律，计算$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2}}$.

答案： 解：由题意可得$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{9^{2}}+\frac{1}{10^{2}}}=1+\frac{1}{1\times2}+1+\frac{1}{2\times3}+1+\frac{1}{3\times4}+\cdots+1+\frac{1}{9\times10}=9+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=9+\frac{9}{10}=9\frac{9}{10}$。

七、（本题满分12分）
22. A地到B地的高速公路全长23.4千米，这段高速公路共建有2座隧道（1号隧道和2号隧道），它们总长度达15千米. 其中，1号隧道的长度比2号隧道长度的9倍还多1千米.
（1）求1号隧道与2号隧道的长度.
（2）某日，小王驾车经这段高速公路从A地到B地. 他7:28进入高速，计划出高速口的时间不超过7:50. 按照他的驾车习惯，在隧道内的平均车速为60千米/时，则他在非隧道路段的平均车速至少为多少？

答案： 解：
(1)设2号隧道长$x$千米，则1号隧道长$(9x + 1)$千米。依题意，得$x + 9x + 1 = 15$，解得$x = 1.4$，$\therefore9x + 1 = 13.6$。答：1号隧道长$13.6$千米，2号隧道长$1.4$千米。
(2)$50 - 28 = 22$分钟，$22$分钟$=\frac{11}{30}$小时。设小王在非隧道路段的平均车速为$y$千米/时。依题意，得$15+(\frac{11}{30}-\frac{15}{60})y\geqslant23.4$，解得$y\geqslant72$。答：小王在非隧道路段的平均车速至少为$72$千米/时。