《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

7. 新考向 古算题(滁州一模)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$P = \frac{a + b + c}{2}$，那么面积$S = \sqrt{P(P - a)(P - b)(P - c)}$. 若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积$S$介于整数$n - 1$和$n$之间，则$n$的值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B [解析]根据题意，三角形的三边长分别为2,3,3，则$P=\frac{2 + 3 + 3}{2}=4$，$\therefore$其面积$S=\sqrt{4\times(4 - 2)\times(4 - 3)\times(4 - 3)}=\sqrt{8}$。$\because4＜8＜9$，$\therefore\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，$\therefore2＜\sqrt{8}＜3$，$\therefore n$的值为3。故选B。

8. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{2 - x}{2}＞\frac{2x - 4}{3} \\ -3x ＞ -2x - a\end{cases}$的解集是$x ＜ 2$，则$a$的取值范围是( )
A. $a\geqslant2$
B. $a ＜ 2$
C. $a ＞ 2$
D. $a\leqslant2$

答案： A [解析]解不等式组$\begin{cases}\frac{2 - x}{2}＞\frac{2x - 4}{3}&①\\-3x＞-2x - a&②\end{cases}$，解不等式①，得$x＜2$；解不等式②，得$x＜a$。$\because$关于$x$的不等式组的解集是$x＜2$，$\therefore a\geqslant2$。故选A。

9. 新考向 新定义(合肥期中)对任意两个实数$a$，$b$定义两种运算：$a▲b = \begin{cases}a(a\geqslant b) \\ b(a ＜ b)\end{cases}$，$a▼b = \begin{cases}b(a\geqslant b) \\ a(a ＜ b)\end{cases}$，并且定义运算顺序仍然是先算括号内的，例如$(-2)▲3 = 3$，$(-2)▼3 = -2$，$[(-2)▲3]▼2 = 2$，那么$(\sqrt{5}▲2)▼\sqrt[3]{27}$等于( )
A. $\sqrt{5}$
B. 3
C. 6
D. $3\sqrt{5}$

答案： A [解析]$(\sqrt{5}\bigtriangleup2)\bigtriangledown\sqrt[3]{27}=\sqrt{5}\bigtriangledown\sqrt[3]{27}=\sqrt{5}\bigtriangledown3=\sqrt{5}$。故选A。

10.(怀化中考变式)某单位为回馈社会，特向某村提供优质种羊若干只. 在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只. 若每户发放母羊5只，则多出17只母羊；若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只. 这批种羊共有( )
A. 55只
B. 72只
C. 83只
D. 89只

答案： C [解析]设该村共有$x$户，则母羊共有$(5x + 17)$只。由题意，得$\begin{cases}5x+17-7(x - 1)＞0\\5x+17-7(x - 1)＜3\end{cases}$，解得$\frac{21}{2}＜x＜12$。$\because x$为整数，$\therefore x = 11$，则这批种羊共有$11+5\times11 + 17 = 83$只。

11.(南充中考)若$\sqrt{8 - x}$为整数，$x$为正整数，则$x =$______.

答案： 4或7或8 [解析]$\because8 - x\geqslant0$，$x$为正整数，$\therefore1\leqslant x\leqslant8$且$x$为正整数。$\because\sqrt{8 - x}$为整数，$\therefore\sqrt{8 - x}=0$或$1$或$2$，当$\sqrt{8 - x}=0$时，$x = 8$；当$\sqrt{8 - x}=1$时，$x = 7$；当$\sqrt{8 - x}=2$时，$x = 4$。综上，$x$的值为$4$或$7$或$8$。

12. 新教材 变式题 根据如图中呈现的开立方运算关系，可以得出$a$的值为______.

答案： -2025

13. 辨思维 易错题 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x - 2}{4}＜\frac{x - 1}{3} \\ 2x - m\leqslant2 - x\end{cases}$有且只有两个整数解，则$m$的取值范围是____________.

答案： -2≤m＜1 [解析]$\begin{cases}\frac{x - 2}{4}＜\frac{x - 1}{3}&①\\2x - m\leqslant2 - x&②\end{cases}$，解不等式①，得$x ＞ - 2$，解不等式②，得$x\leqslant\frac{m + 2}{3}$，$\therefore$不等式组的解集为$-2 ＜ x\leqslant\frac{m + 2}{3}$。$\because$不等式组有且只有两个整数解，$\therefore$这两个整数解为$-1$，$0$，$\therefore0\leqslant\frac{m + 2}{3}＜1$，解得$-2\leqslant m ＜ 1$。

14. 新课标 抽象能力(六安期中)已知$(2a - 2)x^{|a|} + m＞0$是关于$x$的一元一次不等式.
(1)$a$的值为______.
(2)若不等式的解集为$x ＜ 4$，则实数$m$的值为______.

答案：
(1) -1
(2) 16 [解析]
(1)$\because(2a - 2)x^{\vert a\vert}+m＞0$是关于$x$的一元一次不等式，$\therefore\vert a\vert = 1$，$2a - 2\neq0$，解得$a = - 1$。
(2)把$a = - 1$代入原式，得$-4x + m＞0$，解得$x＜\frac{m}{4}$。$\because$不等式的解集为$x＜4$，$\therefore\frac{m}{4}=4$，解得$m = 16$。