《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

六、（本题满分12分）
21. 新教材 变式题（南昌期中）图①是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD（如图②）.
（1）在图①中，拼成的大正方形ABCD的面积为______，边AD的长为______.
（2）现将图②水平放置在如图③所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示－1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数.

答案： 解:
(1)10 $\sqrt{10}$
(2)
∵BC = AD = $\sqrt{10}$,
∴圆的半径为$\sqrt{10}$.当点E在点B左侧时,表示的数为−1−$\sqrt{10}$;当点E在点B右侧时,表示的数为−1+$\sqrt{10}$.

七、（本题满分12分）
22. 新考向 情境题（廊坊期中）阅读下面的对话，解答问题.

（1）$\sqrt{21}$的整数部分是______，小数部分是______.
（2）若$5+\sqrt{5}$的小数部分为a，$4-\sqrt{5}$的整数部分为b，求$a-\sqrt{5b}$的值.
（3）若$4a + 1$的算术平方根是7，$3b - 2$的立方根是－5，c是$\sqrt{10}$的整数部分，求$4a + b + 3c$的平方根.

答案： 解:
(1)4 $\sqrt{21}$−4
(2)
∵4＜5＜9,
∴2＜$\sqrt{5}$＜3,
∴7＜5+$\sqrt{5}$＜8,
∴5+$\sqrt{5}$的整数部分是7,小数部分 = 5+$\sqrt{5}$−7 = $\sqrt{5}$−2,
∴a = $\sqrt{5}$−2.
∵2＜$\sqrt{5}$＜3,
∴−3＜−$\sqrt{5}$＜−2,
∴1＜4−$\sqrt{5}$＜2,
∴4−$\sqrt{5}$的整数部分为1，
∴b = 1,
∴a−b$\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$−2−$\sqrt{5}$×1 = $\sqrt{5}$−2−$\sqrt{5}$ = −2.
(3)
∵4a + 1的算术平方根是7,3b−2的立方根是−5,
∴4a + 1 = 49,3b−2 = −125,解得a = 12,b = −41.
∵9＜10＜16,
∴3＜$\sqrt{10}$＜4,
∴$\sqrt{10}$的整数部分是3,
∴c = 3,
∴4a + b + 3c = 4×12+(−41)+3×3 = 48−41+9 = 16,
∴4a + b + 3c的平方根是±4.

八、（本题满分14分）
23. 新考向 探究题 如图，将一个边长为3的大正方形分为A，B，C，D四部分，可以发现$S_A=1=1^3$，$S_B=2×2$，$S_C=1×2$，$S_D=1×2$，所以$S_B+S_C+S_D=2×2+1×2+1×2=2^3$，通过四部分面积之和等于大正方形的面积可以得到$1^3+2^3=(1 + 2)^2$.

[尝试解决]
（1）请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法推证：$1^3+2^3+3^3=$______，请自己构造图形并写出解题过程.
[类比归纳]
（2）请用上述方法探究：$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=$______.
[实际应用]
（3）计算下面三个式子的值：
①$\sqrt{1^3}=$______；
②$\sqrt{1^3+2^3}=$______；
③$\sqrt{1^3+2^3+3^3}=$______.
（4）根据你发现的规律计算：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+25^3}$.

答案：
解:
(1)(1 + 2 + 3)² 构造图形如图,A表示1个1×1的正方形,即SA = 1 = 1³;B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此B,C,D就可以看作2个2×2的正方形,即SB+C+D = 2×2×2 = 2³;G与H,E与F和I可以看作3个3×3的正方形,即SG+H+E+F+I = 3×3×3 = 3³,而A,B,C,D,E,F,G,H,I恰好可以拼成一个(1 + 2 + 3)×(1 + 2 + 3)的大正方形，由此可得1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)².

(2)(1 + 2 + 3+….+n)²
(3)①1 ②3 ③6
(4)1³ + 2³ + 3³ + 4³+….+25³ = (1 + 2 + 3+…+25)² = [$\frac{25×(25 + 1)}{2}$]² = 325².