《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

八、(本题满分14分)
23. 辨思维 数形结合 (六安期末)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,如图①可以得到(a + b)² = a² + 2ab + b².基于此,请解答下列问题.
[直接应用](1)若x + y = 3, x² + y² = 5,求xy的值.
[类比应用](2)填空: ①若x(3 - x) = 1,则x² + (x - 3)² = ________.
②若(x - 3)(4 - x) = -1,则(x - 3)² + (x - 4)² = ________.
[知识迁移](3)两块相同的特制直角三角板(∠AOB = ∠COD = 90°)如图②所示放置,其中A, O, D在同一直线上,连接AC, BD.若AD = 16, S_{三角形AOC} + S_{三角形BOD} = 68,求一块直角三角板的面积.

答案： 解:
(1)
∵x + y = 3，
∴(x + y)² = 3²，
∴x² + 2xy + y² = 9，即2xy = 9 - (x² + y²)。又
∵x² + y² = 5，
∴2xy = 9 - 5 = 4，
∴xy = 2。
(2)①7 ②3
(3)设OA = OC = x，OB = OD = y。
∵∠AOC = ∠COD = 90°，A，O，D在同一直线上，
∴$S_{三角形AOC} = \frac{1}{2}OA·OC = \frac{1}{2}x²$，$S_{三角形BOD} = \frac{1}{2}OB·OD = \frac{1}{2}y²$。
∵$S_{三角形AOC} + S_{三角形BOD} = 68$，
∴$\frac{1}{2}x² + \frac{1}{2}y² = 68$，
∴x² + y² = 136。
∵AD = x + y = 16，
∴(x + y)² = 16²，即x² + y² + 2xy = 256，
∴2xy = 256 - (x² + y²) = 256 - 136 = 120，
∴xy = 60，
∴$S_{三角形AOB} = \frac{1}{2}OA·OB = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}×60 = 30$。
∴一块直角三角板的面积为30。