《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

11. (郑州期中)观察下列因式分解中的规律:
① x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2);
② x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5);
③ x²−5x + 6 = (x−2)(x−3);
④ x²−2x−8 = (x + 2)(x−4).
利用上述系数特点分解因式x² + x−6 = ______________.

答案： (x+3)(x−2)

12. 观察:
2²−1² = (2 + 1)(2−1) = 2 + 1 = $\frac{(1 + 2)×2}{2}$ = 3;
4²−3² + 2²−1² = (4 + 3)(4−3) + (2 + 1)(2−1) = 4 + 3 + 2 + 1 = $\frac{(1 + 4)×4}{2}$ = 10;
6²−5² + 4²−3² + 2²−1² = (6 + 5)(6−5) + (4 + 3)(4−3) + (2 + 1)(2−1) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = $\frac{(1 + 6)×6}{2}$ = 21.
探究:
(1) 8²−7² + 6²−5² + 4²−3² + 2²−1² = ________.
(2) (2n)²−(2n−1)² + (2n−2)²−(2n−3)² + … + 2²−1² = ________.
应用:
(3) 如图, 1000个圆(圆心相同)由小到大套在一起, 从外向内相间画阴影, 最外面的圆的半径为1000 cm, 向内依次为999 cm, 998 cm, …, 1 cm, 那么在这个图形中, 所有阴影的面积和是多少? (结果保留π)

答案： 解:
(1)36
(2)n(2n+1)
(3)1000²π−999²π+…+2²π−π=(1000²−999²+…+2²−1)π=(1000 + 999 + … + 2 + 1)π=$\frac{(1+1000)×1000}{2}$π=500500π(cm²).答:所有阴影的面积和是500500πcm².