《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

六、(本题满分12分)
21. 新考向 规律探究 有一系列等式:
1×2×3×4 + 1 = 5² = (1² + 3×1 + 1)²,
2×3×4×5 + 1 = 11² = (2² + 3×2 + 1)²,
3×4×5×6 + 1 = 19² = (3² + 3×3 + 1)²,
4×5×6×7 + 1 = 29² = (4² + 3×4 + 1)²,
(1)根据你发现的规律,写出8×9×10×11 + 1的结果.
(2)试猜想: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1是哪一个数的平方?请说明理由.

答案： 解:
(1) 8×9×10×11 + 1 = 89² = (8² + 3×8 + 1)²。
(2) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)²。理由：n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1 = (n² + 3n + 1)²。

七、(本题满分12分)
22. 新课标 应用意识 (西宁中考)七年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
将2a - 3ab - 4 + 6b因式分解.
[观察]经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
解法一:
原式 = (2a - 3ab) - (4 - 6b)
= a(2 - 3b) - 2(2 - 3b)
= (2 - 3b)(a - 2).
解法二:
原式 = (2a - 4) - (3ab - 6b)
= 2(a - 2) - 3b(a - 2)
= (a - 2)(2 - 3b).
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.
[类比](1)请用分组分解法将x² - a² + x + a因式分解.
[应用](2)已知a, b, c是三角形ABC三边的长,且满足a² + c² - 2b(a - b + c) = 0,试判断三角形ABC的形状,并说明理由.

答案： 解:
(1)原式 = (x² - a²) + (x + a) = (x + a)(x - a) + (x + a) = (x + a)(x - a + 1)。
(2)三角形ABC的形状是等边三角形，理由如下：a² + c² - 2b(a - b + c) = 0，a² + c² - 2ab + 2b² - 2bc = 0，(a² - 2ab + b²) + (c² + b² - 2bc) = 0，(a - b)² + (b - c)² = 0，
∴a - b = 0，b - c = 0，
∴a = b = c，
∴三角形ABC是等边三角形。