《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

1. 如果$(x - 1)^0$有意义,那么$x$的取值范围是(　　　)
A. $x＞1$　　　　　　　　　
　B. $x＜1$
C. $x≠1$　　　　　　　　　
　D. $x$为任意数

答案： C

2. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　　)
A. $x^2 - x - 1 = x(x - 1) - 1$
　B. $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$
C. $x(x - 1) = x^2 - x$　　　
　D. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

答案： D

3. 下列运算正确的是(　　　)
A. $a^3 + a^2 = a^5$　　　　　　
　B. $a^3 - a = a^2$
C. $a^7\cdot a^{-3} = a^4$　　　　　　
　D. $(a^2)^4 = a^6$

答案： C

4. (青岛中考)我国古代数学家祖冲之推算出$\pi$的近似值为$\frac{355}{113}$，它与$\pi$的误差小于0.0000003. 将0.0000003用科学记数法表示为(　　　)
A. $3\times10^{-7}$　　　　　　　　
　B. $0.3\times10^{-6}$
C. $3\times10^{-6}$　　　　　　　　
　D. $3\times10^{7}$

答案： A

5. (金华中考)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　　)
A. $a^2 + b^2$　　　　　　　　
　B. $2a - b^2$
C. $a^2 - b^2$　　　　　　　　
　D. $-a^2 - b^2$

答案： C

6. 多项式$mx^2 - m$与多项式$x^2 - 2x + 1$的公因式是(　　　)
A. $x - 1$　　
　B. $x + 1$　　
　C. $x^2 - 1$　　
　D. $(x - 1)^2$

答案： A

7. 新教材新素材雷达可用于飞机导航,也可用于监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射,又被雷达接收,两个过程共用$6.24\times10^{-5}$秒,已知电磁波的传播速度为每秒$3.0\times10^{8}$米,则该时刻飞机与雷达站的距离是(　　　)
A. $9.36\times10^{3}$米　　　　　
　B. $9.36\times10^{4}$米
C. $1.872\times10^{3}$米　　　　　
　D. $1.872\times10^{4}$米

答案： A

8. 辨思维整体思想若$x^2 - 3y - 5 = 0$，则$6y - 2x^2 - 6$的值为(　　　)
A. 4　　　　
　B. -4　　　
　C. 16　　　　
　D. -16

答案： D

9. 若$(x - 4)(x + 8) = x^2 + mx + n$，则$m$，$n$的值分别为(　　　)
A. 4，32　　　　　　　　　
　B. 4，-32
C. -4，32　　　　　　　　
　D. -4，-32

答案： B

10. 新课标代数推理若$n$为正整数,且$(n + 11)^2 - n^2$的值总可以被$k$整除,则$k$等于(　　　)
A. 11　　　　　　　　　
　B. 22
C. 11或22　　　　　　　
　D. 11的倍数

答案： A

11. 计算:$\frac{1}{2}x\cdot(-2x^2)^3 =$________.

答案： -4x⁷

12. (马鞍山期末)因式分解:$a^3 - 9a =$________.

答案： a(a + 3)(a - 3)

13. 辨思维易错题若$x^2 + 2(m - 3)x + 16$是关于$x$的完全平方式,则$m =$________.[变式训练→B卷T13]

答案： -1或7

14. 辨思维数形结合(合肥期末)如图①所示，将一张长为$2m$、宽为$n(m＞n)$的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形,拼成如图②所示的正方形$ABCD$(相邻纸片之间不重叠、无缝隙),已知正方形$ABCD$的面积为20,中间小正方形$EFGH$的面积为4.
　　　　　　
　(1) $mn =$________.
　(2) $m + n =$________.

答案：
(1)8
(2)6

15. 计算.
　　(1) $(\frac{1}{5})^0\times2^{-4}\times4^2$
　　(2) $x^3\cdot x^2 - (-2x^4)^2 + x^{10}\div x^2$

答案： 解:
(1)原式= 1×$\frac{1}{16}$×16=1.
(2)原式=x⁵ - 4x⁸ + x⁸ = x⁵ - 3x⁸.

16. 分解因式.
　(1) $2a^3 - 8a^2 + 8a$
　(2) $-(x + 2)^2 + 16(x - 1)^2$

答案： 解:
(1)原式=2a(a² - 4a + 4)=2a(a - 2)².
(2)原式=16(x - 1)² - (x + 2)²=[4(x - 1)+(x + 2)][4(x - 1)-(x + 2)]=(5x - 2)(3x - 6)=3(5x - 2)(x - 2).

17. (1) 辨思维整体思想(芜湖期中)若$xy = -1$，且$x - y = 3$，求$(x - 2)(y + 2)$的值.
　(2) (安庆期中)先化简,再求值:$a(a - 3b) + 2(a + b)(a - b) - (a - 2b)^2$，其中$a = -\frac{1}{2}$，$b = 1$.

答案： 解:
(1)
∵xy = -1, x - y = 3,
∴(x - 2)(y + 2)=xy + 2(x - y) - 4=-1 + 6 - 4 = 1.
(2)原式=a² - 3ab + 2a² - 2b² - a² + 4ab - 4b² = 2a² + ab - 6b².当a = -$\frac{1}{2}$,b = 1时,原式=2×(-$\frac{1}{2}$)²+(-$\frac{1}{2}$)×1 - 6×1²=$\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2}$ - 6 = -6.

18. 新课标运算能力下图是东东同学完成的一道题目.
　
　请你参考东东的方法计算下列各题.
　(1) $8^{2025}\times(-0.125)^{2025}$
　(2) $(\frac{12}{5})^{11}\times(\frac{5}{6})^{13}\times(\frac{1}{2})^{12}$

答案： 解:
(1)8²⁰²⁵×(-0.125)²⁰²⁵=(-8×0.125)²⁰²⁵=(-1)²⁰²⁵ = -1.
(2)($\frac{12}{5}$)¹²×($\frac{5}{6}$)¹²×($\frac{1}{2}$)¹²=($\frac{12}{5}$)¹²×($\frac{5}{6}$)¹²×($\frac{5}{6}$)²×($\frac{1}{2}$)¹⁰×$\frac{1}{2}$=($\frac{12}{5}$×$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{2}$)¹²×$\frac{25}{36}$×$\frac{1}{2}$=1¹²×$\frac{25}{72}$=1×$\frac{25}{72}$=$\frac{25}{72}$

19. 若$a^m = a^n(a＞0且a≠1,m,n$是正整数),则$m = n$. 请你利用此结论解决下面两个问题.
　(1) 若$2\times8^x\times16^x = 2^{22}$，求$x$的值.
　(2) 若$(27^x)^2 = 3^{12}$，求$x$的值.

答案： 解:
(1)
∵2×8x×16² = 2²²,
∴2×2³x×2⁸ = 2²²,即2¹ + ³x + ⁸ = 2²²,
∴1 + 3x + 8 = 22,解得x = 3.
(2)
∵(27x)² = 3¹²,
∴(3³x)² = 3¹²,即3⁶x = 3¹²,
∴6x = 12,解得x = 2.

20. 某种植基地有一块长方形和一块正方形试验田，两块试验田均种植了豌豆幼苗. 长方形试验田每排种植$(3a - b)$株,种植了$(3a + b)$排;正方形试验田每排种植$(2a - b)$株,种植了$(2a - b)$排，其中$a＞b＞0$.
　(1) 正方形试验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？
　(2) 当$a = 5$，$b = 2$时,该种植基地这两块试验田一共种植了多少株豌豆幼苗？

答案： 解:
(1)由题意得(3a - b)(3a + b) - (2a - b)² = 9a² - b² - 4a² + 4ab - b² = 5a² + 4ab - 2b².答:正方形试验田比长方形试验田少种植豌豆幼苗(5a² + 4ab - 2b²)株.
(2)由题意得(3a - b)(3a + b)+(2a - b)² = 9a² - b² + 4a² - 4ab + b² = 13a² - 4ab.当a = 5,b = 2时,原式=13×5² - 4×5×2 = 325 - 40 = 285(株).答:该种植基地这两块试验田一共种植了285株豌豆幼苗.

六、(本题满分12分)
21. (嘉兴中考)比较$x^2 + 1$与$2x$的大小.
　(1) 尝试(用“＞”“＜"或“=”填空):
　①当$x = 1$时,$x^2 + 1$________$2x$;
　②当$x = 0$时,$x^2 + 1$________$2x$;
　③当$x = -2$时,$x^2 + 1$________$2x$.
　(2) 归纳:若$x$取任意实数,$x^2 + 1$与$2x$有怎样的大小关系？试说明理由.

答案： 解:
(1)①= ②＞③＞
(2)x² + 1 ≥ 2x.理由:
∵x² + 1 - 2x = (x - 1)² ≥ 0,
∴x² + 1 ≥ 2x.

七、(本题满分12分)
22. 新课标推理能力有一块边长为$a$厘米的正方形桌面，因为实际需求，需将正方形边长增加$b$厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:
　　　
　小明发现这三种方案都能验证公式:$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. 对于方案一,小明是这样验证的:$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.

答案： 解:方案二:a² + ab + (a + b)b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² = (a + b)².方案三:a² + [a+(a + b)]b + [a+(a + b)]b = a² + ab + $\frac{1}{2}$b² + ab + $\frac{1}{2}$b² = a² + 2ab + b² = (a + b)².

八、(本题满分14分)
23. 新考向阅读理解(阜阳期末)阅读材料:
　因式分解:$(x + y)^2 + 2(x + y) + 1$.
　解:将$x + y$看成整体,令$x + y = A$,则原式$= A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$,再将$A$还原,得到原式$= (x + y + 1)^2$.
　上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题.
　(1) 因式分解:$(2x - y)^2 + 2(2x - y) + 1$.
　(2) 因式分解:$(m - 2n)(m - 2n - 2) + 1$.

答案： 解:
(1)将2x - y看成整体,令2x - y = A,则原式=A² + 2A + 1 = (A + 1)²,再将A还原,得到原式=(2x - y + 1)².
(2)将m - 2n看成整体,令m - 2n = B,则原式=B(B - 2)+1 = B² - 2B + 1 = (B - 1)²,再将B还原,得到原式=(m - 2n - 1)².

1. 辨思维 易错题 PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5μm(0.000 002 5 m)的颗粒物,含有大量有毒、有害物质,也称为可入肺颗粒物,将2.5μm用科学记数法可表示为( )m.
A. 25×10⁻⁷
B. 2.5×10⁻⁶
C. 0.25×10⁻⁵
D. 2.5×10⁻⁵

答案： B

2. 下列运算正确的是( )
A. (-3xy)² = 3x²y²
B. (x - y)⁶÷(y - x)⁴ = -(x - y)²
C. t(3t² - t + 1) = 3t³ - t² + 1
D. (-a³)⁴÷(-a⁴)³ = -1

答案： D

3. (安庆期末)下列各式中,因式分解正确的是( )
A. x² + 2x + 1 = x(x + 2) + 1
B. a² + b² = (a + b)(a - b)
C. 4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)²
D. x³ - x = x(x - 1)²

答案： C

4. (蚌埠期中)若a = -0.3², b = 3⁻², c = (-$\frac{1}{3}$)⁰,则a, b, c的大小关系是( )
A. a ＜ b ＜ c
B. b ＜ a ＜ c
C. a ＜ c ＜ b
D. c ＜ a ＜ b

答案： A [解析]
∵a = -0.3² = -0.09，b = 3⁻² = $\frac{1}{9}$，c = (-$\frac{1}{3}$)⁰ = 1，
∴a ＜ b ＜ c。故选A。

5. 若3×9ᵐ×27ᵐ = 3²¹,则m的值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B

6. 计算(a + m)(a + $\frac{1}{2}$)的结果中不含关于字母a的一次项,则m等于( )
A. 2
B. -2
C. $\frac{1}{2}$
D. -$\frac{1}{2}$

答案： D

7. 辨思维 易错题 (宿州月考)若(ma²)² - 81 = (4a² + 9)(2a + 3)(2a - 3),则m等于( )
A. ±2
B. ±4
C. 6
D. 8

答案： B [解析](4a² + 9)(2a + 3)(2a - 3) = (4a² + 9)(4a² - 9) = 16a⁴ - 81。
∵(ma²)² - 81 = (4a² + 9)(2a + 3)(2a - 3)，
∴(ma²)² = m²a⁴ = 16a⁴，
∴m² = 16，
∴m = ±4。故选B。