《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

18. 化简 $(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}-1}{x}$，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

|甲同学|乙同学|
|----|----|
|解：原式 $=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x}\cdots$|解：原式 $=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}]\cdot\frac{x^{2}-1}{x}\cdots$|
(1)甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______.(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.

答案： 解:
(1)③②
(2)若选择甲同学解法:$(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}- 1}{x}=\frac{x}{x + 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}+\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x - 1+x + 1 = 2$.若选择乙同学解法:$(\frac{x}{x + 1}+\frac{x}{x - 1})\cdot\frac{x^{2}- 1}{x}=[\frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{x(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}]\cdot\frac{x^{2}- 1}{x}=\frac{x^{2}-x + x^{2}+x}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=\frac{2x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=2x$.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 辨思维 易错题 关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{x - 3}-2=\frac{m}{x - 3}$ 的解为正数，求 $m$ 的取值范围.
20.（泰州中考）小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程26 km的普通道路；路线B包含快速通道，全程30 km. 走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.

答案： 19. 解:$\frac{x}{x - 3}-2=\frac{m}{x - 3}$，整理，$\frac{6 - x}{x - 3}=\frac{m}{x - 3}$，6 - x = m，x = 6 - m，由题意得x＞0且x≠3，即6 - m＞0且6 - m≠3，
∴m＜6且m≠3.
20. 解:设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1 + 50%)xkm/h.依题意，$\frac{26}{x}-\frac{30}{(1 + 50%)x}=\frac{6}{60}$，解得x = 60.经检验，x = 60是原方程的解且符合题意，
∴(1 + 50%)x = 90.答:走路线B的平均速度为90km/h.