《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

8. 发现: 任意两个连续奇数的平方差是8的倍数.
验证:
(1) 5²−3²的结果是8的几倍?
(2) 设n为整数, 写出两个连续奇数的平方差, 并说明是8的倍数.
延伸:
(3) 任意两个连续偶数的平方差能否被6整除? 请说明理由.

答案： 解:
(1)
∵5²−3²=(5+3)×(5−3)=16,
∴5²−3²的结果是8的2倍.
(2)设任意两个连续奇数为2n−1,2n+1,则它们的平方差为(2n+1)²−(2n−1)²=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n +1)=8n.
∵8n÷8=n,n为整数,
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数.
(3)任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除.理由:设m为整数，任意两个连续偶数为2m,2m+2,则它们的平方差为(2m+2)²−(2m)²=(2m+2+2m)(2m+2−2m)=8m+4.
∵$\frac{8m+4}{6}$=$\frac{4}{3}$m+$\frac{2}{3}$,
∴任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除.

9. 已知三角形ABC的三边a, b, c满足a² + ab + c²−bc = 2ac, 则三角形ABC的形状是________三角形.

答案： 等腰 [解析]
∵a²+ab+c²−bc=2ac,
∴a²−2ac+c²+(ab−bc)=0,
∴(a−c)²+b(a−c)=0,
∴(a−c)(a−c+b)=0.
∵a−c+b＞0,
∴a−c=0,即a=c,
∴三角形ABC是等腰三角形.

10. 对于一个图形, 通过两种不同的方法计算它的面积, 可以得到一个因式分解的等式.
(1) 图①中大正方形的面积用两种方法可分别表示为________、________.
(2) 你得到的因式分解等式是______________________.
(3) 通过不同的方法表示同一个几何体的体积, 也可以探求相应的因式分解等式. 如图②是棱长为a + b的正方体, 被如图所示的分割线分成8块.
① 用不同方法计算这个正方体的体积, 就可以得到一个因式分解的等式, 这个等式是______________________________.
② 已知a + b = 5, ab = 2, 利用上面的规律求a³ + b³的值.

答案： 解:
(1)a²+b²+2ab　(a+b)²
(2)a²+b²+2ab=(a+b)²
(3)①a³ + b³ + 3a²b + 3ab² = (a + b)³ ②
∵a + b = 5,ab = 2,
∴a³ + b³=(a + b)³−3a²b−3ab²=(a + b)³−3ab(a + b)=125−3×2×5 = 95.