《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

1. 若$x = 4$是分式方程$\frac{a - 2}{x}=\frac{1}{x - 3}$的根，则$a$的值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D

2. 若分式方程$\frac{2(x - a)}{a(x - 1)}=-\frac{2}{5}$的解为$x = 3$，则$a$的值为________.

答案： 5

3. (岳阳月考)已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x + 4}=\frac{m}{x}$与分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x - 1}$的解相同，求$m^{2}-2m$的值.

答案： 解：$\frac{3}{2x}=\frac{1}{x - 1}$，$3(x - 1)=2x$，解得$x = 3$.检验：当$x = 3$时，$2x(x - 1)\neq0$，$\therefore x = 3$是原方程的解.把$x = 3$代入$\frac{2}{x + 4}=\frac{m}{x}$，得$\frac{2}{3 + 4}=\frac{m}{3}$，解得$m=\frac{6}{7}$，$\therefore m^{2}-2m=(\frac{6}{7})^{2}-2\times\frac{6}{7}=-\frac{48}{49}$.

4. (吉林期末)解关于$x$的方程$\frac{x - 6}{x - 5}+1=\frac{m}{x - 5}$(其中$m$为常数)产生增根，则常数$m$的值等于( )
A. -2
B. 2
C. 1
D. -1

答案： D

5. 辨思维 易错题 已知关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{k}{x + 2}=\frac{3}{x^{2}-4}$有增根，求$k$的值.

答案： 解：$\frac{1}{x - 2}+\frac{k}{x + 2}=\frac{3}{x^{2}-4}$，方程两边同时乘最简公分母$(x + 2)\cdot(x - 2)$，得$x + 2 + k(x - 2)=3$①.$\because$分式方程有增根，$\therefore$整式方程的解使得分式方程无意义，即分母为0，$\therefore(x + 2)(x - 2)=0$，即$x = 2$或$x=-2$.把$x = 2$代入①式，得$4 = 3$不成立；把$x=-2$代入①式，得$-4k = 3$，解得$k=-\frac{3}{4}$.综上，$k=-\frac{3}{4}$.

6. 若分式方程$\frac{m}{x}-\frac{1}{x - 1}=0$有解，则$m$的取值范围是( )
A. $m\neq0$
B. $m\neq1$
C. $m\neq0$或$m\neq1$
D. $m\neq0$且$m\neq1$

答案： D [解析]去分母，得$m(x - 1)-x = 0$.整理，得$mx - m - x = 0$，即$x=\frac{m}{m - 1}$.$\because$分式方程有解，$\therefore\frac{m}{m - 1}\neq0$且$\frac{m}{m - 1}\neq1$且$m - 1\neq0$，则$m\neq0$且$m\neq1$.故选D.

7. 辨思维 分类讨论 (遂宁中考)若关于$x$的方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$无解，则$m$的值为( )
A. 0
B. 4或6
C. 6
D. 0或4

答案： D [解析] $\frac{2}{x}=\frac{m}{2x + 1}$去分母，得$2(2x + 1)=mx$.去括号，得$4x + 2 = mx$.整理，得$(4 - m)x=-2$.$\because$分式方程无解，$\therefore4 - m = 0$或$2x + 1 = 0$，即$4 - m = 0$或$x=-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4 - m}$，$\therefore m = 4$或$m = 0$.故选D.

8. 已知关于$x$的方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$，若该方程无解，试求$m$的值.

答案： 解：去分母，得$2(x + 2)+mx=x - 1$.去括号，得$2x + 4 + mx = x - 1$.整理，得$(m + 1)x=-5$.由分式方程无解，得$(x - 1)\cdot(x + 2)=0$或$m + 1 = 0$.当$x - 1 = 0$时，$x = 1$，$\therefore m + 1=-5$，解得$m=-6$；当$x + 2 = 0$时，$x=-2$，$\therefore-2(m + 1)=-5$，解得$m = 1.5$；当$m + 1 = 0$时，解得$m=-1$.故$m$的值是$-6$或$1.5$或$-1$.

9. 辨思维 易错题 若关于$x$的分式方程$\frac{2x}{x - 4}-\frac{a}{4 - x}=1$的解为非负数，则$a$的取值范围是________________.

答案： $a\leqslant-4$且$a\neq-8$ [解析]去分母，得$2x + a = x - 4$，解得$x=-a - 4$.由分式方程的解为非负数，得$-a - 4\geqslant0$且$-a - 4\neq4$，解得$a\leqslant-4$且$a\neq-8$.

10. 辨思维 易错题 (淮南期末)已知关于$x$的方程$\frac{x + m}{x - 2}=-1$的解大于1，则$m$的取值范围是________________.

答案： $m ＜ 0$且$m\neq-2$ [解析]将关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}=-1$去分母，得$x + m=-x + 2$，解得$x=\frac{2 - m}{2}$，由于分式方程的解大于$1$，即$\frac{2 - m}{2}＞1$，解得$m ＜ 0$.又$\because$分式方程有增根$x = 2$，$\therefore\frac{2 - m}{2}\neq2$，解得$m\neq-2$.综上所述，$m$的取值范围为$m ＜ 0$且$m\neq-2$.

11. 已知关于$x$的分式方程$\frac{3x}{x - 1}=\frac{m}{1 - x}+2$的解为正数，求$m$的取值范围.

答案： 解：去分母，得$3x=-m + 2(x - 1)$，去括号、移项、合并同类项，得$x=-m - 2$.$\because$关于$x$的分式方程$\frac{3x}{x - 1}=\frac{m}{1 - x}+2$的解为正数，$\therefore - m - 2＞0$.又$\because x - 1\neq0$，$\therefore x\neq1$，$\therefore - m - 2\neq1$，$\begin{cases}-m - 2＞0\\-m - 2\neq1\end{cases}$，解得$m ＜ - 2$且$m\neq-3$.故$m$的取值范围为$m ＜ - 2$且$m\neq-3$.

12. 辨思维 易错题 若关于$y$的不等式组 的解集为$y\leqslant - 4$，且关于$x$的分式方程$\frac{1 - x}{x - 3}+4=\frac{a}{3 - x}$的解是非负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是( )
A. 12
B. 14
C. 19
D. 21

答案： C [解析]解不等式①，得$y\leqslant-4$；解不等式②，得$y ＜ a + 3$.$\because$不等式组的解集为$y\leqslant-4$，$\therefore a + 3 ＞ - 4$，$\therefore a ＞ - 7$.$\because\frac{1 - x}{x - 3}+4=\frac{a}{3 - x}$，$\therefore1 - x + 4x - 12=-a$，$3x = 11 - a$，$\therefore x=\frac{11 - a}{3}$.$\because\frac{11 - a}{3}\neq3$，$\therefore a\neq2$.$\because$方程的解是非负整数，$\therefore a$的取值为$-4$，$-1$，$5$，$8$，$11$，$\therefore$所有满足条件的整数$a$的值之和是$19$.故选C.

13. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x - a＞0\\x - 4\leqslant - x\end{cases}$共有三个整数解，关于$y$的分式方程$\frac{a}{y - 2}+\frac{y - 1}{y - 2}=3$的解为整数，则整数$a$的值为________.

答案： -3

14. 如果整数$a$使得关于$x$的分式方程$\frac{16}{x(x - 4)}+\frac{2}{x}=\frac{a}{x - 4}$有正整数解，且使得关于$y$的不等式组 有解，那么符合条件的所有整数$a$的值之和是多少?

答案： 解：解分式方程$\frac{16}{x(x - 4)}+\frac{2}{x}=\frac{a}{x - 4}$，得$x=\frac{8}{a - 2}$.$\because$分式方程有正整数解，$\therefore a - 2 = 1$或$2$或$4$或$8$.又$\because x\neq4$且$x\neq0$，$\therefore a\neq4$，$\therefore a = 3$或$6$或$10$.$\because$关于$y$的不等式组$\begin{cases}y + 2\geqslant3 - a&①\\\frac{y + 1}{3}＞1&②\end{cases}$有解，$\therefore2a - 5 ＞ 1$，解得$a ＞ 3$.综上，符合题意的整数$a$的值有$6$，$10$，$\therefore$符合条件的所有整数$a$的值之和是$16$.

1. 新考向 跨学科 光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角. 如图，两束光线$l_1$，$l_2$分别从不同方向射向镜面$m$，入射点为$A$，$B$，$n_1$，$n_2$是法线. $l_1$，$l_2$的反射光线相交于点$C$. 若$\angle1 = 30^{\circ}$，$\angle2 = 50^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数是( )

A. $30^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $80^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案：
C [解析]如图，过点C作CD//n₁交AB于点D.由题意，得∠1 = ∠3 = 30°,∠2 = ∠4 = 50°,n₁//n₂,
∴n₁//CD//n₂.
∵CD//n₁,
∴∠3 = ∠ACD = 30°.
∵CD//n₂,
∴∠4 = ∠DCB = 50°,
∴∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = 80°.故选C.
　　　　　

2. 如图所示，已知$AB// CD$，$BF$平分$\angle ABE$，$DF$平分$\angle CDE$，$\angle BED = 115^{\circ}$，则$\angle BFD$的度数为______.

答案： 57.5°

3. 新课标 模型观念 (芜湖期中) 已知$AB// CD$，请完成以下问题.
(1)如图①，求$\angle1$，$\angle2$，$\angle3$，$\angle4$，$\angle5$的度数之间的等量关系.
(2)如图②，$\angle EFA = 30^{\circ}$，$\angle FGH = 90^{\circ}$，$\angle HMN = 30^{\circ}$，$\angle CNP = 50^{\circ}$，求$\angle GHM$的度数.

答案：
解:
(1)如图①,作GM//AB,FN//AB,EH//AB.
∵AB//CD,
∴AB//GM//FN//EH//CD,
∴∠1 = ∠AEH,∠HEG = ∠EGM,∠MGF = ∠GFN,∠NFC = ∠5,
∴∠AEG + ∠GFC = ∠1 + ∠EGF + ∠5,即∠2 + ∠4 = ∠1 + ∠3 + ∠5.
(2)如图②,作KG//AB,HQ//AB,MN与HQ交于点T.
∵AB//CD,KG//AB,HQ//AB,
∴AB//KG//QH//CD,
∴∠FGK = ∠EFA = 30°.
∵∠FGH = 90°,
∴∠KGH = 60°,
∴∠KGH = ∠GHQ = 60°,∠HTN = ∠CNP = 50°.
∵∠HTN = ∠QHM + ∠M,∠M = 30°,
∴∠QHM = 20°,
∴∠GHM = ∠QHG - ∠QHM = 40°.