《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

21. 科技点亮未来，创新改变生活. 某校七年级一班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图①所示的航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图②所示的宣传版画，它是由一个三角形、两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图②所示.
（1）用含$a$，$b$的代数式表示图②的KT板模型的总面积.（结果需化简）
（2）若$a + b=7$，$ab=\frac{45}{4}$，求KT板的总面积.

答案： 解:
(1)阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$(b + 3b)×$\frac{3}{2}$b + $\frac{1}{2}$(b + 6a - 2b)×a = 3a² + 3b².
(2)
∵a + b = 7,ab = $\frac{45}{4}$,
∴3a² + 3b² = 3(a² + b²) = 3[(a + b)² - 2ab] = 3×(49 - $\frac{45}{2}$) = $\frac{159}{2}$.

22. 新课标 代数推理（蚌埠期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为奇特数. 例如：$8=3^{2}-1^{2}$，$16=5^{2}-3^{2}$，$24=7^{2}-5^{2}$，则8，16，24这三个数都是奇特数.
（1）填空：42______奇特数，2024______奇特数.（填“是”或“不是”）
（2）设两个连续奇数是$2n - 1$和$2n + 1$（其中$n$为正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形$ABCD$，其边长为199，求阴影部分的面积.

答案： 解:
(1)不是 是
(2)是.理由:
∵(2n + 1)² - (2n - 1)² = 8n,
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
(3)S阴影部分 = 199² - 197² + 195² - 193² +... + 7² - 5² + 3² - 1² = (199 + 197)(199 - 197) + (195 + 193)(195 - 193) +... + (7 + 5)(7 - 5) + (3 + 1)(3 - 1) = (199 + 197 + 195 + 193 +... + 3 + 1)×2 = $\frac{(1 + 199)×100}{2}$×2 = 20000.