《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

18. (通辽中考)先化简，再求值：$\frac{1}{1 - x}\div\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-2x + 1}+\frac{1}{x + 2}$，请从不等式组$\begin{cases}5 - 2x\geq1\\x + 3＞0\end{cases}$的整数解中选择一个你喜欢的求值.

答案： 解：原式$=\frac{1}{1 - x}-\frac{(x - 1)^{2}}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}=\frac{1 - x}{x(x + 2)}+\frac{1}{x + 2}=\frac{1 - x + x}{x(x + 2)}=\frac{1}{x(x + 2)}$
解不等式组$\begin{cases}x + 3\geq0\\5 - x＞1\end{cases}$，得$-3＜x\leq2$.
$\because$要使分式成立，则$1 - x\neq0$，$x^{2}+2x\neq0$，$x + 1\neq0$，$\therefore x\neq1$，$x\neq - 2$，$x\neq0$，
$\therefore x$的取值可以为$-1$，$2$.当$x = - 1$时，原式$=-1$；当$x = 2$时，原式$=\frac{1}{8}$.(只选一个求值即可)

19. 新教材 变式题 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为$a\ m(a＞2)$的正方形去掉一个边长为2 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为$(a - 2)m$的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
　　　　

答案： 解：
(1)根据题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量为$500\div(a^{2}-2^{2})=\frac{500}{a^{2}-4}(kg)$；“丰收2号”小麦的单位面积产量为$500\div(a - 2)^{2}=\frac{500}{(a - 2)^{2}}(kg)$. $\because a＞2$，$\therefore(a - 2)^{2}-(a^{2}-4)=a^{2}-4a + 4 - a^{2}+ 4 = 8 - 4a＜0$，即$(a - 2)^{2}＜a^{2}-4$，
$\therefore\frac{500}{a^{2}-4}＜\frac{500}{(a - 2)^{2}}$，即“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2)根据题意，得$\frac{500}{(a - 2)^{2}}\div\frac{500}{a^{2}-4}=\frac{500}{(a - 2)^{2}}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{500}=\frac{a + 2}{a - 2}$，则高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 2}{a - 2}$倍.

20. (常德中考)第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间少140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是多少兆每秒.

答案： 解：设该地4G的下载速度是$x$兆每秒，则该地5G的下载速度是$15x$兆每秒.由题意，得$\frac{600}{x}-\frac{600}{15x}=140$，解得$x = 4$，经检验，$x = 4$是原分式方程的解，且符合题意，$\therefore15\times4 = 60$(兆).答：该地4G的下载速度是$4$兆每秒，该地5G的下载速度是$60$兆每秒.