《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

8. 分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{m}{(x - 1)(x + 2)}$有增根，则$m$的值为( )
A. 0或3
B. 1
C. 1或 - 2
D. 3

答案： D [解析]$\because$分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{m}{(x - 1)(x + 2)}$有增根，$\therefore x - 1 =0$，$x + 2 =0$，$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-2$.两边同时乘$(x - 1)(x + 2)$，原方程可化为$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=m$，整理，得$m = x + 2$.当$x_{1}=1$时，代入得$m = 1 + 2 = 3$；当$x_{2}=-2$时，代入得$m=-2 + 2 = 0$.当$m = 0$时，方程为$\frac{x}{x - 1}-1 = 0$，此时$-1 = 0$，即方程无解，$\therefore$当$m = 3$时，分式方程有增根.故选D.

9. 新课标 模型观念 (合肥二模)甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助完成此项工作，且乙打字员的工作效率是甲打字员的1.5倍，结果比原计划提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是( )
A. 17小时
B. 14小时
C. 12小时
D. 10小时

答案： C [解析]设甲打字员原计划完成此项工作的时间是$x$小时，则甲的工作效率是$\frac{1}{x}$，乙的工作效率是甲的$1.5$倍，即$\frac{3}{2x}$.依题意，得$\frac{x - 6}{x}+\frac{3(x - 6 - 2)}{2x}=1$，整理，得$2x - 12 + 3(x - 8)=2x$，解得$x = 12$，经检验，$x = 12$是原方程的解，且符合题意，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是$12$小时.故选C.

10. 新考向 规律探究 现有一列数：$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots,a_{n - 1},a_{n}$($n$为正整数)，规定$a_{1}=2,a_{2}-a_{1}=4,a_{3}-a_{2}=6,\cdots,a_{n}-a_{n - 1}=2n(n\geq2)$，若$\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=\frac{97}{198}$，则$n$的值为( )
A. 97
B. 98
C. 99
D. 100

答案： B [解析]已知$a_{1}=2$，$a_{2}-a_{1}=4$，$a_{3}-a_{2}=6$，$\cdots$，$a_{n}-a_{n - 1}=2n$，以上各式左右两边分别相加，得$a_{n}-a_{1}=2 + 4 + 6 + \cdots + 2n$，$\therefore a_{n}=\frac{(2 + 2n)n}{2}=n(n + 1)$.
$\frac{1}{a_{2}}=\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{a_{3}}=\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a_{4}}=\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\cdots$，$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{n\times(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$.又$\because\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\frac{1}{a_{4}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=\frac{97}{198}$，$\therefore\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=\frac{97}{198}$，即$\frac{1}{2}-\frac{1}{n + 1}=\frac{97}{198}$，$\frac{1}{n + 1}=\frac{1}{99}$，解得$n = 98$，经检验，$n = 98$是原方程的解，$\therefore n = 98$.故选B.

11. 要使分式$\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$有意义，$x$的取值应满足________.

答案： $x＞1$

12. 新思维 整体思想 (内江中考)若$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$，则分式$\frac{5m + 5n - 2mn}{-m - n}$的值为________.

答案： -4

13. 新考向 古算题 (嘉兴中考)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人分得与第一次相同，求第一次分钱的人数. 设第一次分钱的人数为$x$人，则可列方程为________________.

答案： $\frac{10}{x}=\frac{40}{x + 6}$

14. 辨思维 易错题 已知关于$x$的分式方程$\frac{3}{1 - x}+\frac{m}{x - 1}=-2$.
(1)如果该方程的解是$x = 2$，那么$m$的值是________.
(2)如果该方程的解为正数，那么$m$的取值范围是________.

答案：
(1)1
(2)$m＜5$且$m≠3$ [解析]
(1)去分母，得$-3 + m=-2x + 2$. $\because$该方程的解是$x = 2$，$\therefore -3 + m=-4 + 2$，解得$m = 1$.
(2)去分母，得$-3 + m=-2x + 2$，解得$x=\frac{5 - m}{2}$，根据分式方程的解为正数，得$\frac{5 - m}{2}＞0$，且$\frac{5 - m}{2}\neq1$，解得$m＜5$且$m≠3$.

15. 计算.
(1)$\frac{a^{2}-4}{a - 3}\cdot(1-\frac{1}{a - 2})$ (2)$(a - 1-\frac{4a - 1}{a + 1})\div\frac{a^{2}-8a + 16}{a + 1}$

答案： 解：
(1)原式$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3}\cdot\frac{a - 3}{a - 2}=a + 2$.
(2)原式$=\frac{a(a - 4)}{a + 1}\cdot\frac{a + 1}{(a - 4)^{2}}=\frac{a}{a - 4}$.