《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

1.(常德中考)在$\frac{33}{17},\sqrt{3},-\sqrt[3]{8},\pi,2025$这五个数中，无理数的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A

2.(合肥期中)下列各式计算正确的是( )
A.$\sqrt{36}=\pm6$
B.$\pm\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\pm\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
D.$\sqrt{-100}=10$

答案： B

3.(绍兴中考)下列计算正确的是( )
A.$(a^{2}+ab)\div a=a + b$
B.$a^{2}\cdot a=a^{2}$
C.$(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}$
D.$(a^{3})^{2}=a^{5}$

答案： A

4. 不等式组$\begin{cases}x＜3 \\ x\geqslant1\end{cases}$的解集在数轴上表示为( )

答案： C

5.(滨州中考)若$8x^{m}y$与$6x^{3}y^{n}$的和是单项式，则$(m + n)^{3}$的平方根为( )
A.4
B.8
C.$\pm4$
D.$\pm8$

答案： D

6.(株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是( )
A.$x^{2}-1=(x - 1)^{2}$
B.$a^{3}-2a^{2}+a=a^{2}(a - 2)$
C.$-2y^{2}+4y=-2y(y + 2)$
D.$m^{2}n-2mn + n=n(m - 1)^{2}$

答案： D

7. 辨思维 易错题 已知$a,b$为常数，若$ax + b＞0$的解集是$x＜\frac{1}{3}$，则$bx - a＜0$的解集是( )
A.$x＞-3$
B.$x＜-3$
C.$x＞3$
D.$x＜3$

答案： B [解析]
∵ax + b＞0的解集是x＜$\frac{1}{3}$，由于不等号的方向发生了变化，
∴a＜0。又
∵−$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{3}$，即a = −3b，
∴b＞0，不等式bx - a＜0，即bx + 3b＜0，解得x＜−3。故选B。

8. 新课标 应用意识 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$x - y,a - b,2,x^{2}-y^{2},a,x + y$，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将$2a(x^{2}-y^{2})-2b(x^{2}-y^{2})$因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美

答案： A [解析]2a(x² - y²) - 2b(x² - y²) = 2(a - b)(x² - y²) = 2(a - b)(x + y)(x - y)，信息中的汉字包括：爱、我、中、华，
∴结果呈现的密码信息可能是爱我中华。故选A。

9. 小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知1桶方便面5元，1根火腿肠2元，他买了4桶方便面、$x$根火腿肠，则关于$x$的不等式表示正确的是( )
A.$5\times4 + 2x＜24$
B.$5\times4 + 2x\leqslant24$
C.$5x + 2\times4\leqslant24$
D.$5x + 2\times4\geqslant24$

答案： B

10. 辨思维 数形结合 如图，两个正方形边长分别为$a,b$，若$a + b = 10,ab = 18$，则阴影部分的面积为( )【变式训练→B卷T10】

A.21
B.22
C.23
D.24

答案：
C [解析]如图，三角形②的一条直角边为a - b，另一条直角边为b，因此S三角形② = $\frac{1}{2}$(a - b)b = $\frac{1}{2}$ab - $\frac{1}{2}$b²，S三角形① = $\frac{1}{2}$a²，
∴S阴影部分 = S大正方形 - S三角形① - S三角形② = $\frac{1}{2}$a² - $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$b² = $\frac{1}{2}$[(a + b)² - 3ab] = $\frac{1}{2}$×(100 - 54) = 23。故选C。

11. 新考向 跨学科 (扬州三模)“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的质量其实很轻，只有0.000 03 kg左右，数据0.000 03用科学记数法可表示为_______.

答案： 3×10⁻⁵

12. 辨思维 整体思想 (遵义中考)若$a + b = 4,a - b = 2$，则$a^{2}-b^{2}$的值为_______.

答案： 8

13. 在比较$\sqrt{170}$与13的大小关系时，我们可以把它们分别平方，$(\sqrt{170})^{2}=170,13^{2}=169$，依据正数越大，算术平方根越大，得到$\sqrt{170}＞13$，请利用上面的方法解答下面的问题：比较大小$\frac{\sqrt{5}}{5}$_______$\frac{\sqrt{6}}{6}$.(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞ [解析]($\frac{\sqrt{5}}{5}$)² = $\frac{1}{5}$，($\frac{\sqrt{6}}{6}$)² = $\frac{1}{6}$。
∵$\frac{1}{5}$＞$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$。

14. 辨思维 易错题 (安庆期中)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x + 15}{2}＞x + 3 \\ 4x + 1＞a\end{cases}$.
(1)当$a = 5$时，该不等式组的解集是_______.
(2)若该不等式组有且仅有3个整数解，则$a$的取值范围是_______.

答案：
(1)1＜x＜9
(2)21≤a＜25
解不等式$\frac{x + 15}{2}$＞3①，得x＜9；当a = 5时，4x + 1＞5，解得x＞1，
∴不等式组的解集是1＜x＜9。
∵不等式①的解集是x＜9，不等式②的解集是x＞$\frac{a - 1}{4}$，
∴不等式组的解集为$\frac{a - 1}{4}$＜x＜9。又
∵该不等式组有且仅有3个整数解，
∴这三个整数解是6，7，8，
∴5≤$\frac{a - 1}{4}$＜6，解得21≤a＜25。

15. 计算.
(1)$\sqrt[3]{-1}+\sqrt{9}-\sqrt{1+\frac{24}{25}}$ (2)$(-a)^{2}\cdot(a^{2})^{3}\div a^{5}$

答案： 解：
(1)原式 = −1 + 3 - $\frac{7}{5}$ = $\frac{3}{5}$。
(2)原式 = a²·a⁶÷a⁵ = a⁸÷a⁵ = a³。

16. 分解因式.
(1)$x^{4}y^{8}-x^{2}y^{4}z^{2}$ (2)$3a^{2}-12ab + 12b^{2}$

答案： 解：
(1)原式 = x²y⁴(x²y² - x²) = x²y⁴(xy² + x)(xy² - x)。
(2)原式 = 3(a² - 4ab + 4b²) = 3(a - 2b)²。

17.(广西中考)解不等式组$\begin{cases}3x - 5＜x + 1 \\ \frac{3x - 4}{6}\leqslant\frac{2x - 1}{3}\end{cases}$，并在数轴上表示出不等式组的解集.

答案： 解：$\begin{cases}3x - 5＜x + 1 ①\\\frac{3x - 4}{6}≤\frac{2x - 1}{3} ②\end{cases}$，解不等式①，得x＜3；解不等式②，得x≥−2，
∴不等式组的解集为−2≤x＜3。在数轴上表示如下：

18.(六安期中)先化简，再求值：$(-3x - 2)(2 - 3x)-(3x - 4)^{2}$，其中$\sqrt{5}-2＜x＜\sqrt{3}$，且$x$为整数.

答案： 解：(x - 16)(x - 1) - (x - 1)² = x² - x - 16x + 16 - (x² - 2x + 1) = x² - 17x + 16 - x² + 2x - 1 = -15x + 15。
∵$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{5}$，且x为整数，
∴x = 2，当x = 2时，原式 = -15×2 + 15 = -15。

19. 如图，在一个边长为$2a + b$的大正方形纸片中，剪去一个长为$2a + b$、宽为$a - b$的长方形和一个边长为$a - b$的小正方形.
(1)用含$a,b$的式子表示阴影部分的面积.(结果化为最简)
(2)当$a = 5,b = 2$时，求阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)阴影部分的面积为(2a + b)² - (2a + b)(a - b) - (a - b)² = 4a² + 4ab + b² - (2a² - 2ab + ab - b²) - (a² - 2ab + b²) = 4a² + 4ab + b² - 2a² + 2ab - ab + b² - a² + 2ab - b² = a² + 7ab + b²。
(2)当a = 5，b = 2时，原式 = 25 + 7×5×2 + 4 = 99，即阴影部分的面积为99。

20. 新课标 运算能力 (安庆期中)已知$2x + 1$的算术平方根是3，$-3x + y + 1$的立方根是-2.
(1)求$x$和$y$的值.
(2)用四则运算的加、减、乘、除定义一个新运算：$a\oplus b = ax - by$.若$m$满足$m\oplus2\leqslant0$，且$3m\oplus(-8)＞0$，化简：$|m - \sqrt{5}|+|m + 2|$.

答案： 解：
(1)由题意可得，$\begin{cases}2 - x + 3 + x + 1 + y = 9 + 1\\-8 = -8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$，
∴x = 4，y = 3。
(2)
∵x = 4，y = 3，
∴ab = 4a - 3b，
∴由题意可得，$\begin{cases}4m + 2 - 6m ≤ 4\\2m - 2＞0\end{cases}$，解得−2＜m≤$\frac{3}{2}$，
∴原式 = $\sqrt{5 - m} + m + 2$ = $\sqrt{5} + 2$。

六、（本题满分12分）
21. 新教材 变式题 （合肥期中）观察下列等式，并回答问题.【变式训练→B卷T22】
$4\times1=2^{2}-0^{2}$，
$4\times2=3^{2}-1^{2}$，
$4\times3=4^{2}-2^{2}$，
…
（1）将2 024写成两整数平方差的形式：$2024 = 4\times$_______$=$_______ - _______.
（2）用含有字母$n(n\geqslant1$的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律.
（3）相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由.

答案：
解：
(1)506² - 505² = (506 + 505)×(506 - 505) = 1011；507² - 505² = (507 + 505)×(507 - 505) = 2024。
(2)4n = (n + 1)² - (n - 1)²，验证如下：
∵(n + 1)² - (n - 1)² = n² + 2n + 1 - (n² - 2n + 1) = 4n，
∴4n = (n + 1)² - (n - 1)²。
(3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：设相邻的两个整数分别为a，a + 1，其中a为整数。
∵(a + 1)² - a² = a² + 2a + 1 - a² = 2a + 1，2a + 1为奇数，不是4的倍数，
∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数。

七、（本题满分12分）
22.（桂林中考）为丰富学生的体育活动，某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7 500元，已知购买1个B类足球比购买1个A类足球多花30元.
（1）求购买1个A类足球和1个B类足球各需要多少元.
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4 800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个A类足球？

答案： 解：
(1)设购买1个A类足球需要x元，购买1个B类足球需要y元。由题意，得$\begin{cases}y - x = 30\\50x + 25y = 7500\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 90\\y = 120\end{cases}$。答：购买1个A类足球需要90元，购买1个B类足球需要120元。
(2)设购买m个A类足球，则购买(50 - m)个B类足球。依题意，得90m + 120(50 - m) ≤ 4800，解得m ≥ 40。答：本次至少可以购买40个A类足球。

八、（本题满分14分）
23. 新考向 阅读理解 （马鞍山期中）阅读理解并解答：
[方法呈现]
（1）我们把多项式$a^{2}+2ab + b^{2}$及$a^{2}-2ab + b^{2}$叫作完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以解决求代数式值的最小（或最大）值问题.
例如：$x^{2}+2x + 3=(x^{2}+2x + 1)+2=(x + 1)^{2}+2$，
$\because(x + 1)^{2}\geqslant0$，
$\therefore(x + 1)^{2}+2\geqslant2$.
则代数式$x^{2}+2x + 3$的最小值是_______，这时相应的$x$的值是_______.
[尝试应用]
（2）仿照上述方法求代数式$-x^{2}+14x + 10$的最小（或最大）值，并写出相应的$x$的值.

答案： 解：
(1)2， - 1
(2) - x² + 14x + 10 = - (x² - 14x + 49 - 49) + 10 = - (x - 7)² + 59。
∵ - (x - 7)² ≤ 0，
∴ - (x - 7)² + 59 ≤ 59，故代数式 - x² + 14x + 10的最大值为59，相应的x的值为7。

1.(黄山期中)实数$|-\sqrt{6}|$，0，-2，$-\sqrt{5}$中，最小的数是( )
A. $|-\sqrt{6}|$
B. 0
C. -2
D. $-\sqrt{5}$

答案： D

2.(六安期中)下列计算正确的是( )
A. $a^{2}\cdot a^{3}=a^{6}$
B. $a^{6}\div a^{-2}=a^{4}$
C. $(2a + b)^{2}=4a^{2}+b^{2}$
D. $(-2ab^{2})^{3}=-8a^{3}b^{6}$

答案： D

3. 将不等式组$\begin{cases}2x - 6\leqslant0 \\ x + 4＞0\end{cases}$的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )

答案： A

4.(淮北期中)下列因式分解正确的是( )
A. $2b^{2}-8b + 8=2(b - 2)^{2}$
B. $ay^{2}-2ay + y=y(ay - 2a)$
C. $a^{2}+a - 3=a(a + 1)-3$
D. $3x^{3}y-xy^{2}=3xy(x^{2}-y)$

答案： A

5.(临沂中考)已知$a＞b$，下列结论：①$a^{2}＞ab$；②$a^{2}＞b^{2}$；③若$b＜0$，则$a + b＜2b$；④若$b＞0$，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$. 其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A [解析]
∵a＞b,
∴当a＞0时,a²＞ab;当a＜0时,a²＜ab,故①结论错误.
∵a＞b,
∴当b＞0时,|a|＞|b|,a²＞b²;当a＜0时,|a|＜|b|,a²＜b²,故②结论错误.
∵a＞b,b＜0,
∴a+b＞2b,故③结论错误.
∵a＞b,b＞0,
∴a＞b＞0,
∴$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$,故④结论正确.故选A.

6. 辨思维 整体思想(聊城中考)关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y=2k - 3 \\ x - 2y=k\end{cases}$的解中$x$与$y$的和不小于5，则$k$的取值范围为( )
A. $k\geqslant8$
B. $k＞8$
C. $k\leqslant8$
D. $k＜8$

答案： A [解析]把两个方程相减,可得x+y=k - 3,根据题意得k - 3≥5,解得k≥8,
∴k的取值范围为k≥8.

7. 新考向 开放题(合肥期中)已知$(x + a)(x + b)=x^{2}+mx + 12$，$m$，$a$，$b$都是整数，那么$m$的值有( )种可能.
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

答案： C [解析]
∵(x+a)(x+b)=x²+mx+12=x²+(a+b)x+ab,
∴a+b=m,ab=12.
∵m,a,b都是整数,
∴当a=3,b=4时,m=a+b=7;当a=-3,b=-4时,m=a+b=-7;当a=2,b=6时,m=a+b=8;当a=-2,b=-6时,m=a+b=-8;当a=1,b=12时,m=a+b=13;当a=-1,b=-12时,m=a+b=-13,则m的值有6种可能.故选C.