《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

9. 新考向 阅读理解 阅读材料.
小明遇到一个问题，计算：(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1). 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)=(2 - 1)×(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)=(2² - 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)=(2⁴ - 1)×(2⁴ + 1)=2⁸ - 1.
请你根据小明解决问题的方法，试着解决下面的问题.
(1)计算：(2 + 1)×(2² + 1)×(2⁴ + 1)×(2⁸ + 1)×(2¹⁶ + 1).
(2)计算：(3 + 1)×(3² + 1)×(3⁴ + 1)×(3⁸ + 1)×(3¹⁶ + 1).

答案： 解:
(1)原式$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)=2^{32}-1$.
(2)原式$=\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{16}-1)×(3^{16}+1)=\frac{1}{2}×(3^{32}-1)=\frac{3^{32}-1}{2}$.

10. 新教材 变式题(滨州期中)
(1)填空：(a - b)(a + b)=________；
(a - b)(a² + ab + b²)=________；
(a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)=________.
(2)猜想：(a - b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹)=________.(其中n为正整数，且n≥2)
(3)利用(2)中猜想的结论计算：2⁹ - 2⁸ + 2⁷ - … + 2³ - 2² + 2.

答案： 解:
(1)$a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$
(2)$a^{n}-b^{n}$
(3)当$a = 2,b = -1,n = 10$时,$[2-(-1)]×[2^{9}+2^{8}×(-1)+2^{7}×1 +\cdots+2^{2}×1+2×(-1)+1]=2^{10}-1$,$\therefore 2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{2}-2 + 1=\frac{2^{10}-1}{3}+1=342$.