《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

八、（本题满分14分）
23. 新考向 新定义 （池州月考）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.
例如，$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1+2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 是“和谐分式”.
（1）下列分式：① $\frac{x + 1}{x}$；② $\frac{2 + x}{2}$；③ $\frac{x + 2}{x + 1}$；④ $\frac{y^{2}+1}{y^{2}}$. 其中属于“和谐分式”的是_______.（填序号）
（2）将“和谐分式” $\frac{a^{2}-2a + 3}{a - 1}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式.
（3）化简 $\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}\div\frac{x^{2}-1}{x^{2}+2x}$，并求当 $x$ 取什么整数时，该式的值为整数.

答案： 解:
(1)①③④
(2)$\frac{a^{2}-2a + 3}{a - 1}=\frac{(a - 1)^{2}+2}{a - 1}=\frac{(a - 1)^{2}}{a - 1}+\frac{2}{a - 1}=a - 1+\frac{2}{a - 1}$.
(3)原式=$\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}\cdot\frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{3x + 6}{x + 1}-\frac{x + 2}{x + 1}=\frac{2x + 4}{x + 1}=\frac{2(x + 1)+2}{x + 1}=2+\frac{2}{x + 1}$.
∵该式的值为整数，
∴x + 1 = ±1或x + 1 = ±2，解得x = 0或x = -2或x = 1或x = -3.又
∵x≠0，1，-1，-2，
∴x = -3，即当x = -3时该式的值为整数.