《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

六、（本题满分12分）
21. 新课标 规律探究（宿州期末）观察以下等式：
第1个等式：$1-\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}$；第2个等式：$1-\frac{1}{3^{2}}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}$；
第3个等式：$1-\frac{1}{4^{2}}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{4}$；第4个等式：$1-\frac{1}{5^{2}}=\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}$；
……
按照以上规律，解决下列问题.
（1）写出第5个等式：________________.
（2）写出你猜想的第$n$个等式（用含$n$的等式表示），并说明理由.

答案： 解:
(1)1 - $\frac{1}{6²}=\frac{5}{6}\times\frac{7}{6}$
(2)第n个等式:1 - $\frac{1}{(n + 1)²}=\frac{n}{n + 1}\cdot\frac{n + 2}{n + 1}$.理由:
∵左边=(1 - $\frac{1}{n + 1}$)(1 + $\frac{1}{n + 1}$)=$\frac{n}{n + 1}\cdot\frac{n + 2}{n + 1}$=右边,
∴等式成立.

七、（本题满分12分）
22. 新考向 探究题 下面是小李同学探索$\sqrt{107}$的近似数的过程：
面积为107的正方形边长是$\sqrt{107}$，且$10\lt\sqrt{107}\lt11$，设$\sqrt{107}=10 + x$，其中$0\lt x\lt1$，画出示意图如图所示，$S_{正方形}=10^{2}+2\times10x + x^{2}$，$S_{正方形}=107$，$\therefore10^{2}+2\times10x + x^{2}=107$，当$x^{2}$较小时，省略$x^{2}$，得$20x + 100\approx107$，得到$x\approx0.35$，即$\sqrt{107}\approx10.35$.
（1）$\sqrt{76}$的整数部分是________.
（2）仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

答案：

解:
(1)8
(2)面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且8＜$\sqrt{76}$＜9,设$\sqrt{76}=8 + x$,其中0＜x＜1,画出示意图如图所示,S正方形=8²+2×8x+x²,S正方形=76,
∴8²+2×8x+x²=76,当x²较小时,省略x²,得16x + 64≈76,得到x≈0.75,即$\sqrt{76}\approx8.75$.