《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册沪科版》

八、（本题满分14分）
22. 新课标 推理能力 已知AB//CD，点M在直线AB上，点N，Q在直线CD上，点P在直线AB，CD之间，连接PM，PN，PQ，PQ平分∠MPN，如图①.
（1）若∠PMA=α，∠PQC=β，求∠NPQ的度数.（用含α，β的式子表示）
（2）过点Q作QE//PN交PM的延长线于点E，过点E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF=1/2∠AMP，试说明：NE平分∠PNQ.

答案：
解：
(1)如图①，过点P作PR//AB.
∵AB//CD，
∴AB//CD//PR，
∴∠MPR=∠PMA=α，∠RPQ=∠PQC=β，
∴∠MPQ=∠MPR + ∠RPQ=α + β.
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ=∠MPQ=α + β.
(2)EF⊥PQ.理由如下：如图②，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠MPQ=∠NPQ=α + β.
∵QE//PN，
∴∠EQP=∠NPQ=α + β.
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF.
∵∠EPQ + ∠EQP + ∠PEQ=180°，
∴2∠EPQ + 2∠PEF=180°，
∴∠EPQ + ∠PEF=90°，
∴∠PFE=180° - 90°=90°，
∴EF⊥PQ.
(3)由
(1)
(2)可知，∠EQP=∠EPQ=∠AMP + ∠PQC，∠EFQ=90°，∠QEF=90° - (∠AMP + ∠PQC)，
∴∠NQE=∠PQC + ∠EQP=∠AMP + 2∠PQC，
∴∠NEF=180° - ∠QEF - ∠NQE - ∠QNE=180° - [90° - (∠AMP + ∠PQC)] - (∠AMP + 2∠PQC) - ∠QNE=180° - 90° + ∠AMP + ∠PQC - ∠AMP - 2∠PQC - ∠QNE=90° - ∠PQC - ∠QNE.
∵∠NEF=$\frac{1}{2}$∠AMP，
∴90° - ∠PQC - ∠QNE=$\frac{1}{2}$∠AMP，即∠AMP + 2∠PQC + 2∠QNE=180°，
∴∠NQE + 2∠QNE=180°.
∵∠NQE + ∠QNE + ∠NEQ=180°，
∴∠QNE=∠NEQ.
∵QE//PN，
∴∠PNE=∠NEQ，
∴∠PNE=∠QNE，
∴NE平分∠PNQ.