《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例2 如图26 - 4 - 4，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处.求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）.
　　　　　　　
分析：将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△AEP和Rt△BEP中求解，需要利用30°角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答.
解：如图26 - 4 - 4，
∵AB为南北方向，
∴△AEP和△BEP都是直角三角形.
在Rt△AEP中，
∠APE = 90° - 60 = 30°，
∴$AE = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2}×100 = 50$(海里)，
$EP = 100×\cos 30° = 50\sqrt{3}$(海里).
在Rt△BEP中，
BE = EP = 50$\sqrt{3}$海里，
∴$AB = (50 + 50\sqrt{3})$海里.
答：测量船从A处航行到B处的路程为$(50 + 50\sqrt{3})$海里.
点拨：本题考查直角三角形的应用——方位角问题，找到题目中的特殊角并熟练解直角三角形是解题的关键.

答案：

例3 如图26 - 4 - 5，一辆客车位于休息站A南偏西60°方向，且与A相距48千米的B处，它从B处沿北偏东α的方向行驶，同时，一辆货车以每小时40千米的速度从A处出发，沿正北方向行驶，行驶2小时，两车恰好相遇.
　　　　　　
(1)求客车的速度.
(2)求sin α的值.
分析：(1)设BM与AN的交点为C，过点B作BE⊥CA于点E，在Rt△AEB中，由$\cos\angle BAE = \frac{AE}{AB}$，$\sin\angle BAE = \frac{BE}{AB}$求AE和BE，在Rt△CEB中，由勾股定理可得$BC = \sqrt{BE^{2} + CE^{2}}$.
(2)由题意知∠α = ∠BCE，
∴$\sin\alpha = \sin\angle BCE = \frac{BE}{BC}$.
解：(1)根据题意，两车相遇地点在BM与AN的交点处，设交点为C.
如图26 - 4 - 6，过点B作BE⊥CA于点E，由题意可知∠BAE = 60°.
　　　　　　
在Rt△AEB中，
由$\cos\angle BAE = \frac{AE}{AB}$，得
$AE = AB\cos\angle BAE = 48×\cos 60° = 24$(千米).
由$\sin\angle BAE = \frac{BE}{AB}$，得
$BE = AB\sin\angle BAE = 48×\sin 60° = 24\sqrt{3}$(千米).
∵AC = 40×2 = 80(千米)，
∴CE = AC + AE = 80 + 24 = 104(千米).
∴在Rt△CEB中，$BC = \sqrt{BE^{2} + CE^{2}} = \sqrt{1728 + 10816} = 112$(千米).
∴客车的速度为112÷2 = 56(千米/时).
(2)由题意可知∠α = ∠BCE，
∴$\sin\alpha = \sin\angle BCE = \frac{BE}{BC} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$.
点拨：本题考查了解直角三角形和勾股定理在实际问题中的应用，理解题意、作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

答案：