《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

8. 把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A，∠A′的余弦值的关系为( )
A. cos A = cos A′
B. cos A = 3cos A′
C. 3cos A = cos A′
D. 不能确定

答案： A 解析：由题意可知$\triangle A'B'C'\backsim\triangle ABC$，所以$\angle A=\angle A'$，所以$\cos A=\cos A'$.

9. 若锐角α大于30°，则cos α的值一定( )
A. 小于$\frac{1}{2}$
B. 大于$\frac{1}{2}$
C. 小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 大于$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C 解析：当$0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}$时，$\cos\alpha$的值随$\alpha$的增大而减小.

10. 如果α为锐角且sin²α + sin²46° = 1，那么α的度数为( )
A. 46°
B. 54°
C. 44°
D. 34°

答案： C

11. 如果∠A是锐角，且sin A = $\frac{3}{4}$，那么( )
A. 0°＜∠A＜30°
B. 30°＜∠A＜45°
C. 45°＜∠A＜60°
D. 60°＜∠A＜90°

答案： C 解析：因为$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}\lt\sin A=\frac{3}{4}\lt\frac{\sqrt{3}}{2}$. 所以$45^{\circ}\lt\angle A\lt60^{\circ}$. 故选C.

12. 在△ABC中，∠A = 120°，AB = 4，AC = 2，则sin B的值是( )
A. $\frac{5\sqrt{17}}{14}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{21}}{7}$
D. $\frac{\sqrt{21}}{14}$

答案：
D 解析：如图D-26-19，过C作$CD\perp BA$交$BA$延长线于D. 在$Rt\triangle ACD$中，$\angle DAC = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，$AC = 2$，$\therefore AD = 1$，$CD=\sqrt{3}$. 在$Rt\triangle BDC$中，$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(BA + AD)^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，$\therefore\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{7}}{2\times\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

13. 如图26 - 5 - 5，△ABC中，如果∠C = 90°，AC = 3，∠B = 30°，点P是BC边上的动点，那么AP长不可能是( )

A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7

答案： D 解析：$\because\sin B=\frac{AC}{AB}$，$\therefore AB=\frac{3}{\sin 30^{\circ}}=6$. 又$AC\leqslant AP\leqslant AB$，$\therefore 3\leqslant AP\leqslant 6$，$\therefore AP$的长不可能是7.

14. 如图26 - 5 - 6，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB = 2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )

A. 4 km
B. (2 + $\sqrt{2}$)km
C. 2$\sqrt{2}$ km
D. (4 - $\sqrt{2}$)km

答案：
B 解析：方法1：如图D-26-20①，在$CD$上取一点E，使$BD = DE$，可得$\angle EBD = 45^{\circ}$.$\because\angle CAD = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，$\therefore AD = DC$，$\therefore AD - BD = DC - DE$，即$AB = EC$.$\because$从B测得船C在北偏东$22.5^{\circ}$的方向，$\therefore\angle BCE=\angle CBE = 22.5^{\circ}$，$\therefore BE = CE$.$\because AB = 2$，$EC = BE = 2$，$\therefore BD = ED=\sqrt{2}$，$\therefore DC = CE + DE=(2+\sqrt{2})\text{ km}$.
方法2：如图D-26-20②，过点B作$BE\perp AC$于点E，由$\angle CAB = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，$AB = 2\text{ km}$，得$BE=\sqrt{2}\text{ km}$. 由题意，得$\angle BCD = 22.5^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$.$\therefore\angle BCA=\angle CBD-\angle CAD = 67.5^{\circ}-45^{\circ}=22.5^{\circ}$.$\therefore\angle BCD=\angle BCA = 22.5^{\circ}$，$\therefore BD = BE=\sqrt{2}\text{ km}$，在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD=\angle ACD = 45^{\circ}$，$\therefore AD = DC$.$\therefore CD = AD = AB + BD=(2+\sqrt{2})\text{ km}$.

15. 如图26 - 5 - 7，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )

A. 160$\sqrt{3}$ m
B. 120$\sqrt{3}$ m
C. 300 m
D. 160$\sqrt{2}$ m

答案：
A 解析：如图D-26-21，$\angle BAD = 30^{\circ}$，$\angle CAD = 60^{\circ}$，$AD = 120\text{ m}$. 在$Rt\triangle ABD$中，$BD = AD\times\tan 30^{\circ}=120\times\frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}(\text{m})$；在$Rt\triangle ACD$中，$CD = AD\times\tan 60^{\circ}=120\times\sqrt{3}=120\sqrt{3}(\text{m})$.$\therefore BC = BD + CD = 160\sqrt{3}\text{ m}$.