《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

二、填空题
4.若关于$x$的方程$x^{2}+(a - 1)x + a^{2}=0$的两根互为倒数，则$a=$_______.

答案： 4.-1解析:设已知方程的两根分别为$m$,$n$,由题意,得$m$与$n$互为倒数,即$mn = 1$.由方程有解,得根的判别式$=(a - 1)^{2}-4a^{2}\geq0$,解得$-1\leq a\leq\frac{1}{3}$.又$mn = a^{2}$,$\therefore a^{2}=1$,解得$a = 1$(舍去)或$a=-1$,则$a=-1$.

5.已知一元二次方程$x^{2}-4x - 3 = 0$的两根为$m,n$，则$m^{2}-mn + n^{2}=$_______.

答案： 25解析:由一元二次方程根与系数的关系,得m+n=4,mn=−3,所以m 2 −mn+n 2 =(m+n) 2 −3mn=4 2 −3×(−3)=25.

6.已知方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的两实数根为$\alpha,\beta$，不解方程求下列各式的值.
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}$；
(2)$\alpha^{2}\beta+\alpha\beta^{2}$；
(3)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$；
(4)$(\alpha - 1)(\beta - 1)$.

答案： 6.解:$\because\alpha$,$\beta$是方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根,$\therefore\alpha+\beta=-3$,$\alpha\beta=-1$.
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(-3)^{2}-2\times(-1)=11$.
(2)$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}=\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})=(-1)\times11=-11$.
(3)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha\beta}=\frac{11}{-1}=-11$.
(4)$(\alpha - 1)(\beta - 1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=(-1)-(-3)+1=3$.

7.已知：$\triangle ABC$的两边$AB、AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$的两个实数根，第三边$BC$的长为5.试问：$k$取何值时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形.

答案： 7.解:设$AB = a$,$AC = b$,$\because a$,$b$是方程$x^{2}-(2k + 3)x + k^{2}+3k + 2 = 0$的两根,$\therefore a + b = 2k + 3$,$a\cdot b = k^{2}+3k + 2$.又$\because\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形,且$BC = 5$,$\therefore a^{2}+b^{2}=5^{2}$,即$(a + b)^{2}-2ab = 5^{2}$,$\therefore(2k + 3)^{2}-2(k^{2}+3k + 2)=25$,$\therefore k^{2}+3k - 10 = 0$,$\therefore k_{1}=-5$,$k_{2}=2$.当$k=-5$时,方程为$x^{2}+7x + 12 = 0$,解得$x_{1}=-3$,$x_{2}=-4$,均不合题意,舍去;当$k = 2$时,方程为$x^{2}-7x + 12 = 0$,解得$x_{3}=3$,$x_{4}=4$.$\therefore$当$k = 2$时,$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形.