《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例2 已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的两根，求以$(x_{1}+1)$和$(x_{2}+1)$为根的一元二次方程.
解：$\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的两根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}\cdot x_{2}=-5$，
$\therefore (x_{1}+1)+(x_{2}+1)=x_{1}+x_{2}+2=-3 + 2 = -1$，$(x_{1}+1)\cdot (x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-5 - 3 + 1 = -7$，
$\therefore$以$(x_{1}+1)$和$(x_{2}+1)$为根的一元二次方程为$y^{2}+y - 7 = 0$.
点拨：已知一个一元二次方程，求新的一元二次方程，使它的根与原方程的根符合某种关系，这类题目的解题步骤是：①设出已知方程的两根，并依据所知关系写出新方程的两根；②由根与系数的关系写出所设两根的和与积；③求新方程两根的和与积；④写出新方程.

答案：

例3 已知关于$x$的方程$x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$|x_{1}+x_{2}|=x_{1}x_{2}-1$，求$k$的值.
分析：(1)由方程有两个实数根，可得$b^{2}-4ac\geq0$，代入可解出$k$的取值范围；
(2)结合(1)中$k$的取值范围，由题意可知，$x_{1}+x_{2}=2(k - 1)\lt0$，去掉绝对值符号结合等式关系，可得$k$的值.
解：(1)由方程有两个实数根，可得
$b^{2}-4ac = 4(k - 1)^{2}-4k^{2}=4k^{2}-8k + 4-4k^{2}=-8k + 4\geq0$，
解得$k\leq\frac{1}{2}$.
(2)依据题意可得$x_{1}+x_{2}=2(k - 1)$，$x_{1}\cdot x_{2}=k^{2}$，
由(1)可知$k\leq\frac{1}{2}$，
$\therefore 2(k - 1)\lt0$，即$x_{1}+x_{2}\lt0$，
$\therefore |x_{1}+x_{2}|=-x_{1}-x_{2}=-(x_{1}+x_{2})=x_{1}x_{2}-1$，
即$-2(k - 1)=k^{2}-1$，
解得$k_{1}=1$(舍去)，$k_{2}=-3$，
$\therefore k$的值是$-3$.

答案：

1.已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+2ax + b = 0$的两根，且$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=1$，则$a,b$的值分别是( )
A. $a=-3,b = 1$
B. $a = 3,b = 1$
C. $a=-\frac{3}{2},b=-1$
D. $a=-\frac{3}{2},b = 1$

答案： 1.D解析:由一元二次方程根与系数的关系知$x_{1}+x_{2}=-2a = 3$,$x_{1}\cdot x_{2}=b = 1$,$\therefore a=-\frac{3}{2}$,$b = 1$.故答案选D.

2.如果关于$x$的一元二次方程$x^{2}+4x + a = 0$的两个不相等实数根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}-5 = 0$，那么$a$的值为( )
A. 3
B. -3
C. 13
D. -13

答案： 2.B解析:$\because x_{1}$,$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+4x + a = 0$的两个不相等实数根,$\therefore x_{1}x_{2}=a$,$x_{1}+x_{2}=-4$,$\therefore x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}-5=x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})-5=a - 2\times(-4)-5 = 0$,即$a + 3 = 0$,解得$a=-3$.

3.一元二次方程$x^{2}-3x - 2 = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$，则下列结论正确的是( )
A. $x_{1}=-1,x_{2}=2$
B. $x_{1}=1,x_{2}=-2$
C. $x_{1}+x_{2}=3$
D. $x_{1}x_{2}=2$

答案： 3.C解析:由一元二次方程$x^{2}-3x - 2 = 0$知$a = 1$,$b=-3$,$c=-2$.由根与系数的关系$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$得$x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3$,$x_{1}x_{2}=-2$.由求根公式知$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$,所以$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.所以选项C正确.