《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

24.(本小题满分9分)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具.图J - 2B - 15①是一辆自行车的实物图,图J - 2B - 15②是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20 cm.点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB = 75°.(参考数据:sin 75°≈0.966,cos 75°≈0.259,tan 75°≈3.732)

(1)求车架档AD的长.
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm).

答案：
解:
(1)
∵在Rt△ACD中,AC = 45 cm,CD = 60 cm,
∴AD=$\sqrt{45^{2}+60^{2}}$=75(cm),
∴车架档AD的长是75 cm. (4分)
(2)如图D-J2-11,过点E作EF⊥AB,垂足为F.(5分)
∵AE = AC + CE = 45 + 20 = 65(cm),
∴EF = AE·sin 75°=65×sin 75°=62.79≈63(cm), (8分)
∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.(9分)

25.(本小题满分10分)如图J - 2B - 16,△ABC中,AB = AC = 4$\sqrt{5}$,cos C = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的☉O,并标出☉O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)综合应用:在你所作的图中.
①求证:$\widehat{DE}=\widehat{CE}$.
②求点D到BC的距离.

答案：

(1)解:如图D-J2-12①,即为所求. (2分)
(2)①证明:如图D-J2-12②,连接AE.
∵AC为直径,
∴∠AEC = 90°.又AB = AC,
∴∠BAE = ∠CAE.
∴DE=CE. (4分)②解:如图D-J2-12③,连接CD,过点D作DF⊥BC于点F.
∵AB = AC = 4$\sqrt{5}$,cos∠ACB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,(5分)
∴CE = AC·cos∠ACB = 4,BC = 2CE = 8,AE=$\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$=8.
∵AC为直径,
∴∠ADC = 90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·CD.又∠AEC = 90°,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AE·BC.(7分)
∴$\frac{1}{2}$AB·CD=$\frac{1}{2}$AE·BC,可得CD=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$.
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$,BD = AB - AD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.在Rt△DBC中,由$\frac{1}{2}$BD·CD=$\frac{1}{2}$DF·BC,可得DF=$\frac{16}{5}$.
∴点D到BC的距离为$\frac{16}{5}$.(10分)

26.(本小题满分14分)如图J - 2B - 17,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在$\widehat{BAD}$上,且不与点B,D重合),∠ACB = ∠ABD = 45°.
(1)求证:BD是该外接圆的直径.

(2)连接CD,求证:$\sqrt{2}$AC = BC + CD.
(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM²,AM²,BM²三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

答案：

(1)证明:
∵∠ACB = 45°,
∴∠ADB = ∠ACB = 45°.又
∵∠ACB = ∠ABD = 45°,
∴在△ABD中,∠ADB = ∠ABD = 45°,
∴∠BAD = 90°,
∴BD是该外接圆的直径. (4分)
(2)证明:由
(1)得AB = AD,如图D-J2-13,将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△AC'D'.
∵在圆内接四边形ABCD中,∠ABC + ∠ADC = 180°,
∴∠ABC+∠AD'C' = 180°.又
∵∠AD'C' = ∠ADC,
∴C',B,C三点共线.由旋转的性质可知,AC = AC',∠C'AC = 90°,
∴△AC'C为等腰直角三角形. (6分)
∴AC'²+AC² = CC'².
∴CC'=$\sqrt{2}AC$.又
∵CC' = BC + BC' = BC + CD,
∴$\sqrt{2}AC$=BC + CD. (8分)
(3)解:DM²,AM²,BM²三者之间满足BM²+2AM² = DM².证明如下:由题意,如图D-J2-14,作△ABC关于直线AB的对称图形△ABM,连接DM.(10分)由对称的性质,得∠BMA = ∠BCA = 45°.将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN,连接MN,则∠MAN = 90°,AM = AN,DM = BN.
∴△AMN为等腰直角三角形,
∴AM²+AN² = MN²,∠AMN = ∠ANM = 45°.
∴MN=$\sqrt{2}AM$. (12分)
∵∠BMA+∠AMN = 45°+45° = 90°,即∠BMN = 90°.
∴在Rt△BMN中,BM²+MN² = BN².又
∵DM = BN,MN=$\sqrt{2}AM$,
∴BM²+($\sqrt{2}AM$)² = DM²,即BM²+2AM² = DM². (14分)