《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

20.(本小题满分9分)如图25 - 8 - 18，在△ABC中，AB = AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD = ∠B.
(1)求证：AC·CD = CP·BP.
　　　　　　　　 图25 - 8 - 18
(2)若AB = 10，BC = 12，当PD//AB时，求BP的长.

答案： 20.
(1)证明：
∵∠APC=∠PAB+∠B，∠APD=∠B，
∴∠DPC=∠PAB. ………………… (1分)
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD. ………………… (3分)
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$，
∴$\frac{AC}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$，
∴AC·CD=CP·BP. ………………… (5分)
(2)解：
∵PD//AB，
∴∠DPC=∠B，∠APD=∠PAB.
∵∠APD=∠B，
∴∠PAB=∠B.
………………………………………… (7分)
又
∵∠B=∠C，
∴∠PAB=∠C.
又
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC.
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴BP=$\frac{AB²}{BC}$=$\frac{10²}{12}$=$\frac{25}{3}$.
………………………………………… (9分)

21.(本小题满分8分)如图25 - 8 - 19，在网格中有点O和四边形ABCD，在网格中作四边形A′B′C′D′，使四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是位似图形，位似中心是点O，位似比为1：3.
　　　　　　

答案： 21.解：因为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比为1∶3，所以OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=1∶3. ……… (4分)
连接OA并延长到A′点，使AA′=2OA，同法作B′，C′，D′，顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形. 图略. … (8分)

22.(本小题满分9分)如图25 - 8 - 20，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC，AD交于点E，F.
(1)求证：AB = AF.
　　　　　　　　　　　 　　图25 - 8 - 20
(2)当AB = 3，BC = 5时，求$\frac{AE}{AC}$的值.

答案：
22.
(1)证明：如图D-25-16，在▱ABCD中，AD//BC，

∴∠2=∠3.
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2. ………………………… (2分)
∴∠1=∠3.
∴AB=AF. ………………………… (4分)
(2)解：
∵∠AEF=∠CEB，∠2=∠3，
∴△AEF∽△CEB. ………………… (6分)
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{3}{5}$.
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{3}{8}$. ……………………… (9分)