《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例6 九年级(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的两座古塔A，B的距离.他们在河这边沿着与AB平行的直线l上取相距20 m的C，D两点，测得∠ACB = 15°，∠BCD = 120°，∠ADC = 30°，如图26 - 4 - 11，求古塔A，B的距离.
　　　
分析：如图26 - 4 - 12，过点A作AE⊥DC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由已知的几个角的度数及邻边相等得到四边形AECF是正方形.设AE = x m(x＞0)，根据CD = 20 m，在Rt△AED与Rt△AEC中列出关于x的方程，求出正方形的边长.在Rt△CFB中求出BF的长，利用AB = AF - BF，求出古塔A，B的距离.
解：如图26 - 4 - 12，
　　　
过点A作AE⊥DC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，故AE//CF.
又AB//CD，
∴四边形AECF是平行四边形.
又AE⊥EC，
∴平行四边形AECF是矩形.
∵∠ACB = 15°，∠BCD = 120°，
∴∠ACE = 45°，于是有AE = CE.
∴四边形AECF是正方形.
设AE = x m(x＞0)，在Rt△AED中，
∠ADC = 30°，CD = 20 m，∴AD = 2x m，
ED = (x + 20)m. 于是$(2x)^{2} = x^{2} + (x + 20)^{2}$，即$x^{2} - 20x - 200 = 0$，解得$x = 10 ± 10\sqrt{3}$（负值舍去），即正方形AECF的边长为$(10 + 10\sqrt{3})$m.
∵∠ACF = 45°，∠ACB = 15°，
∴∠BCF = 30°.
在Rt△CFB中，
$BF = CF\cdot\tan\angle BCF = (10 + \frac{10\sqrt{3}}{3})$m，
∴$AB = AF - BF = (10 + 10\sqrt{3}) - (10 + \frac{10\sqrt{3}}{3}) = \frac{20\sqrt{3}}{3}$(m)，
即古塔A，B的距离为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$m.
点拨：应用解直角三角形的知识可以解一些有关测量、航行、筑坝、开渠、修路等简单的实际问题.解这类应用题的一般步骤如下：
第一步，审题.弄清楚有关仰角、俯角、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念.
第二步，画图.认真分析题意，画出示意图并找出要求解的直角三角形.
第三步，解直角三角形.所画出的图形，如果有相关的直角三角形，就可以根据边角关系进行计算；如果没有相关的直角三角形，一般通过作高构造直角三角形求解.

答案：