《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例 求数据0,1,2,3,4的方差.
分析：由方差的定义可知$s^2=\frac{1}{5}\times[(0 - \overline{x})^2+(1 - \overline{x})^2+(2 - \overline{x})^2+(3 - \overline{x})^2+(4 - \overline{x})^2]$，可见要求出方差$s^2$，需先求出平均数$\overline{x}$.
解：$\because\overline{x}=\frac{1}{5}\times(0 + 1 + 2 + 3 + 4)=2$，
$\therefore s^2=\frac{1}{5}\times[(0 - 2)^2+(1 - 2)^2+(2 - 2)^2+(3 - 2)^2+(4 - 2)^2]$
$=\frac{1}{5}\times(4 + 1 + 0 + 1 + 4)=2$.

答案：

1. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )
A. 平均数
B. 众数
C. 方差
D. 频率

答案： C　解析:平均数反映的是一组数据的平均水平;众数反映的是一组数据的“多数”水平;方差反映的是一组数据的离散程度(或波动程度);频率反映的是某个范围内的数据出现的频繁程度.

2. 如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的( )
A. 平均数和方差都不变
B. 平均数不变，方差改变
C. 平均数改变，方差不变
D. 平均数和方差都改变

答案： C　解析:本题可用公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$直接判断,也可利用特殊值代入计算.例如，一组数据1,1,2,2,3,3都加上1,成为新的一组数据2,2,3,3,4,4,分别计算它们的平均数和方差.
$\overline{x}_{1}=\frac{1}{6}(1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3)=2.$
$\overline{x}_{2}=\frac{1}{6}(2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4)=3.$
$s_{1}^{2}=\frac{1}{6}[(1 - 2)^{2}+(1 - 2)^{2}+(2 - 2)^{2}+(2 - 2)^{2}+(3 - 2)^{2}+(3 - 2)^{2}]=\frac{2}{3}.$
$s_{2}^{2}=\frac{1}{6}[(2 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}]=\frac{2}{3}.$
通过比较发现，平均数改变，方差不变.故选C.

二、填空题
3. 计算22,24,26,28,30这组数据的方差是_______.

答案： 8　解析:22,24,26,28,30这组数据的平均数是(22 + 24 + 26 + 28 + 30)÷5 = 26,
∴$s^{2}=\frac{1}{5}[(22 - 26)^{2}+(24 - 26)^{2}+(26 - 26)^{2}+(28 - 26)^{2}+(30 - 26)^{2}]=8$,故答案为8.

4. 在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：

则这10个小组植树株数的方差是_______.

答案： 0.6　解析:$\overline{x}=\frac{5×3 + 6×4 + 7×3}{10}=6$,则$s^{2}=\frac{1}{10}[(5 - 6)^{2}+(5 - 6)^{2}+\cdots+(7 - 6)^{2}]=0.6.$

5. 需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数. 现抽取8个排球，通过检测所得数据如下(单位：克)：+1，-2，+1，0，+2，-3，0，+1，则这组数据的方差是_______.

答案： 2.5　解析:方法1:设排球的标准质量为a克，求得8个排球的平均质量$\overline{x}=\frac{1}{8}(a + 1 + a - 2 + a + 1 + a + a + 2 + a - 3 + a + a + 1)=a$(克),根据方差计算公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$得$s^{2}=\frac{1}{8}[(a + 1 - a)^{2}+(a - 2 - a)^{2}+\cdots+(a + 1 - a)^{2}]=2.5.$
方法2:$\overline{x}=\frac{1 - 2 + 1 + 0 + 2 - 3 + 0 + 1}{8}=0$,
$s^{2}=\frac{1}{8}[(1 - 0)^{2}+(-2 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}+(0 - 0)^{2}+(2 - 0)^{2}+(-3 - 0)^{2}+(0 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}]=2.5.$

6. 已知一组数据0,1,2,2,x,3的平均数是2，则这组数据的方差是_______.

答案： $\frac{5}{3}$　解析:因为所给数据的平均数是2,所以$x = 6×2 - 1 - 2 - 2 - 3 = 4$,所以方差$s^{2}=\frac{1}{6}[(0 - 2)^{2}+(1 - 2)^{2}+(2 - 2)^{2}+(2 - 2)^{2}+(4 - 2)^{2}+(3 - 2)^{2}]=\frac{5}{3}.$

三、解答题
7. 两台机床同时生产直径为10(单位：mm)的零件，为了检验产品质量，质检员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：

(1)求$s_{甲}^{2}$和$s_{乙}^{2}$.
(2)说明哪台机床生产的零件质量更符合要求.

答案： 解:
(1)$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{4}×(10 + 9.8 + 10 + 10.2)=10$(mm),
$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{4}×(10.1 + 10 + 9.9 + 10)=10$(mm).
$s_{甲}^{2}=\frac{1}{4}×[(10 - 10)^{2}+(9.8 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(10.2 - 10)^{2}]=0.02$,
$s_{乙}^{2}=\frac{1}{4}×[(10.1 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}+(9.9 - 10)^{2}+(10 - 10)^{2}]=0.005.$
(2)
∵$s_{甲}^{2}＞s_{乙}^{2}$,
∴乙机床生产的零件直径波动小.
因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求.
点拨:要比较两组数据的稳定性，主要对比数据的平均数和方差.当两组数据的平均数相近或相等时，我们再比较方差.