《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

16. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动. 如图26 - 5 - 8，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i = 1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)( )

A. 8.1米
B. 17.2米
C. 19.7米
D. 25.5米

答案：
A 解析：如图D-26-22，过点B作$BF\perp AE$于点F. 在$Rt\triangle BAF$中，$\tan\angle BAF = 1:2.4$，即$\frac{BF}{AF}=\frac{1}{2.4}$，又$BF^{2}+AF^{2}=AB^{2}$，$\therefore BF^{2}+(2.4BF)^{2}=13^{2}$，$\therefore BF = 5$米，$AF = 12$米.$\because BF\perp AE$，$DE\perp AE$，$BD\perp CE$，$\therefore\angle BFE=\angle FED=\angle BDE = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$BFED$为矩形，$\therefore BD = FE$，$DE = BF$，$\therefore AE = AF + EF = 12 + 6 = 18$(米). 在$Rt\triangle ACE$中，$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$，即$\tan 36^{\circ}=\frac{CE}{18}$，解得$CE\approx13.14$米. 又$\because DE = BF = 5$米，$\therefore CD = CE - DE\approx13.14 - 5 = 8.14\approx8.1$(米). 点拨：“构造直角三角形，解直角三角形”是解答此题的关键.

17. 如图26 - 5 - 9，小明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB = 80米，则小明从A到B上升的高度BC是_______米.

答案： 40 解析：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 80$米，由$\sin A=\frac{BC}{AB}$，得$BC = AB\sin A = 80\times\sin 30^{\circ}=80\times\frac{1}{2}=40$(米).

18. 已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，如果DP = 1，那么tan∠BPC的值是_______.

答案：
2或$\frac{2}{3}$ 解析：由题意，知点P有下列两种位置，如图D-26-23.

由图D-26-23①得，$\tan\angle BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{1}=2$. 由图D-26-23②得，$\tan\angle BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{2}{2 + 1}=\frac{2}{3}$.

19. 如图26 - 5 - 10，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则∠ACB = _______°，C处与灯塔A的距离是_______海里.

答案：
30 $\frac{40\sqrt{3}}{3}$ 解析：如图D-26-24，由方向角的意义与已知条件结合可得$\angle EBC = 20^{\circ}$，$\angle EBA = 50^{\circ}$，$\therefore\angle ABC = 30^{\circ}$. 又$\angle FCB=\angle EBC = 20^{\circ}$，$\angle FCA = 10^{\circ}$，$\therefore\angle ACB=\angle FCB+\angle FCA = 30^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\angle ACB$，$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形，过点A作$AD\perp BC$于点D，由等腰三角形“三线合一”的性质，得$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times60\times\frac{2}{3}=20$(海里). 在$Rt\triangle ADC$中，$AC=\frac{DC}{\cos 30^{\circ}}=\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}$(海里).

20. (本小题满分8分)计算：
(1)$\sqrt{2} - 2\sin 45^{\circ} - (1 + \sqrt{8})^{0} + 2^{-1}$；
(2)sin 60° + tan 45°；
(3)2sin 45° + 2sin 60°.

答案： 解：
(1)原式$=\sqrt{2}-2\times\frac{\sqrt{2}}{2}-1+\frac{1}{2}$……(1分)$=\sqrt{2}-\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$. ……(3分)
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$. ……(5分)
(3)原式$=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. ……(8分)