《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

8.生态环境局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.生态环境局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图27 - 3 - 7所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式.

(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?

答案： 解：
(1)当 0≤x≤3 时，设线段 AB 对应的函数表达式为 y = kx + b.
把 A(0,10)，B(3,4)分别代入 y = kx + b，
得$\begin{cases}b = 10 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 10 \end{cases}$，所以 y = -2x + 10.
当 x＞3 时，设 y = $\frac{m}{x}$.
把 B(3,4)代入 y = $\frac{m}{x}$，得$\frac{m}{3}$ = 4，解得 m = 12.
所以 y = $\frac{12}{x}$. 综上所述$\begin{cases}y = -2x + 10(0≤x≤3) \\ y = \frac{12}{x}(x＞3) \end{cases}$.
(2)能. 令 y = $\frac{12}{x}$ = 1，则 x = 12＜15.
所以该企业所排污水中硫化物的浓度能在 15 天内达标.

9.如图27 - 3 - 8，定义：若双曲线y = $\frac{k}{x}$(k ＞ 0)与它的其中一条对称轴y = x相交于A，B两点，则线段AB的长称为双曲线y = $\frac{k}{x}$(k ＞ 0)的对径.
(1)求双曲线y = $\frac{1}{x}$的对径.

(2)若某双曲线y = $\frac{k}{x}$(k ＞ 0)的对径是10$\sqrt{2}$，求k的值.
(3)仿照上述定义，定义双曲线y = $\frac{k}{x}$(k ＜ 0)的对径.

答案：
解：
(1)由$\begin{cases}y = \frac{1}{x} \\ y = x \end{cases}$得$\begin{cases}x_{1}=1 \\ y_{1}=1 \end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=-1 \\ y_{2}=-1 \end{cases}$，
即 A(1,1)，B(-1,-1).
如图 D - 27 - 3①，分别过点 A 和点 B 向 x 轴和 y 轴作垂线，两垂线相交于点 M，则△ABM 是直角三角形.
在 Rt△ABM 中，AB = $\sqrt{AM^{2}+BM^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$
∴ 双曲线 y = $\frac{1}{x}$的对径为 2$\sqrt{2}$.
(2)若双曲线的对径是 10$\sqrt{2}$，即 AB = 10$\sqrt{2}$，则 OA = 5$\sqrt{2}$.
如图 D - 27 - 3②，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，则△AOC 是等腰直角三角形.
∴ 点 A 的坐标为(5,5)，则 k = 5×5 = 25.
(3)若双曲线 y = $\frac{k}{x}$ (k＜0)与它的其中一条对称轴 y = -x 相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长称为双曲线 y = $\frac{k}{x}$ (k＜0)的对径.