《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例1 下列函数：①$y=(x - 3)^{2}-x^{2}$；②$y = x^{3}-2x^{2}+1$；③$y = x^{2}-\frac{1}{x}$；④$x^{2}+y - 2 = 0$；⑤$y=(x - 6)(x - 2)$.其中y是x的二次函数的是________.(填序号)
解析：先把一边整理为x的降幂(或升幂)排列形式，后看其是否为整式，再看x的最高次数是否为2，最后看二次项系数是否为0.
点拨：判断一个函数是不是二次函数，主要看它是不是符合$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的形式.

二、列二次函数的表达式
由实际问题列二次函数的表达式时，一定要考虑变量，尤其是自变量的取值范围.

答案：

例2 某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌.设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m².写出广告牌面积S与一边长x的函数表达式.
分析：矩形的面积为长乘宽.已知矩形的一边长为x m，由周长公式可表示出另一边长为$\frac{1}{2}(20 - 2x)$m，即$(10 - x)$m.于是矩形的面积S可用x表示出来.
解：由题意，知矩形的另一边长为$\frac{1}{2}(20 - 2x)=(10 - x)$m，
∴$S = x(10 - x)=-x^{2}+10x(0\lt x\lt10)$.
点拨：对于矩形中面积、周长、边长关系问题，已知周长和一边长，根据矩形的周长=2×(长+宽)，可以求出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式表示出矩形的面积与一边长的函数表达式.

自我测评

答案：

1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A.$y = 3x - 1$
B.$y = ax^{2}+bx + c$
C.$s = 2t^{2}-2t + 1$
D.$y = x^{2}+\frac{1}{x}$

答案： C　解析:选项A是一次函数;选项B当a=0时不是二次函数，当a≠0时是二次函数，所以选项B不一定是二次函数;选项C一定是二次函数;选项D不是二次函数.