《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

23. (本小题满分10分)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解. 在欧几里得的《几何原本》中，形如$x^{2}+ax = b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法是：如图24 - 5 - 2，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边作$Rt\triangle ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母$a,b$的代数式表示$AD$的长.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗漏之处.

答案： 解:
(1)
∵∠C = 90°,BC = $\frac{a}{2}$,AC = b,
∴AB = $\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$,(2分)
∴AD = $\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$ - $\frac{a}{2}$ = $\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$.(5分)
(2)x² + ax = b²变形为x² + ax - b² = 0,用求根公式求得x1 = $\frac{-\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$,x2 = $\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$.(6分)正确性:AD的长就是方程的正根.(8分)遗漏之处:图解法不能表示方程的负根.(10分)

24. (本小题满分11分)先阅读下面的解题过程，再解决问题.
解方程：$x^{4}-6x^{2}+5 = 0$.
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：
设$x^{2}=y$，那么$x^{4}=y^{2}$，于是原方程变为$y^{2}-6y + 5 = 0$. ①
解方程得$y_{1}=1,y_{2}=5$. 当$y = 1$时，$x=\pm1$；当$y = 5$时，$x=\pm\sqrt{5}$.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=\sqrt{5},x_{4}=-\sqrt{5}$.
(1)在由原方程到方程①的过程中，利用了哪种方法达到降次的目的，体现了哪种数学思想.
(2)解方程：$(x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12 = 0$.

答案： 解:
(1)换元法，转化的数学思想.(2分)
(2)设x² - x = y,则原方程可化为y² - 4y - 12 = 0.(4分)解得y1 = 6,y2 = -2.(6分)当y1 = 6时,x² - x = 6,即x² - x - 6 = 0,解得x1 = 3,x2 = -2.(8分)当y2 = -2时,x² - x = -2,即x² - x + 2 = 0,此方程无实数根.(10分)
∴原方程的解为x1 = 3,x2 = -2.(11分)

25. (本小题满分11分)某水果经销商上个月销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克，经市场调查，若将该种水果价格调低至$x$元/千克，则本月份销售量$y$(千克)与$x$(元/千克)之间符合一次函数关系式$y = kx + b$. 当$x = 7$时，$y = 2000$；当$x = 5$时，$y = 4000$.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)已知该种水果上个月的成本价为5元/千克，本月的成本价为4元/千克，要使本月销售该种水果所获利润比上个月增加20％，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？[利润=(售价 - 成本价)×销售量]

答案： 解:
(1)依题意，得$\begin{cases}2000 = 7k + b\\4000 = 5k + b\end{cases}$(2分)解得$\begin{cases}k=-1000\\b = 9000\end{cases}$(4分)所以y = -1000x + 9000.(5分)
(2)设该种水果价格应调低至x元/千克，上个月销售该种水果的利润是(10 - 5)×1000元，即5000元.依题意，得y(x - 4) = 5000(1 + 20%),即(9000 - 1000x)(x - 4) = 6000.(8分)整理，得x² - 13x + 42 = 0.解得x1 = 6,x2 = 7.(10分)因为要让顾客得到实惠，所以取x = 6.故该种水果价格每千克应调低至6元.(11分)