《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

5. 如图25 - 6 - 19，为了测量河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，在C的正前方选一点E，使CE⊥BC，然后确定BC和AE的交点D，此时测得BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m，求河的宽度.

答案： 解：$\because\angle ADB=\angle EDC$，$\angle ABC=\angle ECD = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABD\sim\triangle ECD$. $\therefore\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$. $\therefore AB=\frac{BD\cdot EC}{CD}=\frac{120\times50}{60}=100$(m). $\therefore$河的宽度为 100 m.

6. 如图25 - 6 - 20，在一个长40 m、宽30 m的长方形小操场上，小刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C点. 当他出发4 s后，小华因有东西需要交给他，就从A点出发沿小刚走的路线追赶，当小华跑到距B点$\frac{8}{3}$m的D点，他和小刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上. 此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
(1)求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE的长).
(2)求小华追赶小刚的速度是多少(精确到0.1 m/s).

答案： 解：
(1)因为太阳光线是平行的，所以$DE// AC$，所以$\triangle BDE\sim\triangle BAC$，所以$BE:BC = BD:BA$，则求得$BE = 2$m. 在$Rt\triangle DBE$中，由勾股定理，得$DE=\frac{10}{3}$m，即他们的影子重叠时，两人相距$\frac{10}{3}$m.
(2)小刚到点$E$时共跑了$40 + 2 = 42$(m)，由于他的速度是 3 m/s，所以当他跑到点$E$时用了 14 s，也就是说，小华从$A$点到$D$点用了 10 s，所以小华的速度为$(40-\frac{8}{3})\div10\approx3.7$(m/s).
点拨：将实际问题转化为数学问题，利用相似三角形的性质和勾股定理求解.

7. 现要测一湖宽AB，但对岸不能直接测量，如图25 - 6 - 21，在附近取一点M，连接MA，MB，并分别在MA，MB上取D，E两点，使DE//AB，测得MB = 8 m，ME = 5 m，DE = 10 m，求AB的长.

答案： 解：$\because DE// AB$，$\therefore\triangle MDE\sim\triangle MAB$. $\therefore\frac{DE}{AB}=\frac{ME}{MB}$.
又$\because MB = 8$m，$ME = 5$m，$DE = 10$m，$\therefore\frac{10}{AB}=\frac{5}{8}$，
$\therefore AB = 16$m.