《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

14. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上。水杯的底面如图J - 2A - 8，已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm，水的最大深度是2 cm，则杯底有水部分的面积是(　　　)
　　　　　
A. ($\frac{16}{3}$π - 4√3) cm²
B. ($\frac{16}{3}$π - 8√3) cm²
C. ($\frac{8}{3}$π - 4√3) cm²
D. ($\frac{4}{3}$π - 2√3) cm²

答案： A 解析:如图D-J2-1，过点$O$作$OC\perp AB$，垂足为$C$，$OC$交小圆于点$D$. 因为$OA = OB$，所以$AC = BC$，$\angle AOB = 2\angle AOC$. 根据题意，知$OA = 4cm$，$CD = 2cm$，所以$OC = 2cm$. 在$Rt\triangle AOC$中，因为$AC=\sqrt{AO^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}(cm)$，所以$AB = 4\sqrt{3}cm$. 又因为$\cos\angle AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，所以$\angle AOC = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB = 120^{\circ}$，所以杯底有水部分的面积$S=\frac{120\pi\times4^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times4\sqrt{3}\times2=(\frac{16}{3}\pi - 4\sqrt{3})cm^{2}$. 故选A.

15. 如图J - 2A - 9，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里。渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近。同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行。20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇到渔船，那么救援船航行的速度为(　　　)

A. 10√3海里/时
B. 30海里/时
C. 20√3海里/时
D. 30√3海里/时

答案： D 解析:在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$，$\therefore \angle C = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC = 180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore \cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}$，即$\cos30^{\circ}=\frac{AC}{20}$，$\therefore AC = 10\sqrt{3}$海里，$\therefore$救援船航行的速度$v=\frac{s}{t}=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{20}{60}}=30\sqrt{3}$(海里/时).

16. 如图J - 2A - 10，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD⊥BC于点D，若BD : CD = 3 : 2，则tan B=(　　　)
　　　　　　　
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{√6}{2}$
D. $\frac{√6}{3}$

答案： D 解析:由$BD:CD = 3:2$，可设$BD = 3x(x\gt0)$，$CD = 2x$. 由题意可知$\triangle ABD\sim\triangle CAD$，$\therefore AD^{2}=BD\cdot CD$，$\therefore AD=\sqrt{6}x$，$\therefore \tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

17. 如图J - 2A - 11，AB是⊙O的直径，弦CD//AB。若∠ABD = 65°，则∠ADC = ________。
　　　　　　　

答案： $25^{\circ}$ 解析:$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DAB = 90^{\circ}-\angle ABD = 90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$. 又$\because CD// AB$，$\therefore \angle ADC=\angle DAB = 25^{\circ}$.

18. 观光塔是潍坊市区的标志性建筑。为测量其高度，如图J - 2A - 12，一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角为60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约为45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD为________m。
　　　　　　

答案： 135 解析:在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\tan\angle ADB=\frac{AB}{AD}$. $\because \angle ADB = 30^{\circ}$，$AB = 45m$，$\therefore \tan30^{\circ}=\frac{45}{AD}$，$\therefore AD = 45\sqrt{3}m$. 在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\tan\angle CAD=\frac{DC}{AD}$，$\because \angle CAD = 60^{\circ}$，$AD = 45\sqrt{3}m$，$\therefore \tan60^{\circ}=\frac{DC}{45\sqrt{3}}$，$\therefore DC = 135m$.