《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

24. (本小题满分11分)如图28-6-19①，已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD = CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.
(1)求证：AE是⊙O的直径.
　　　
　　　　　　　图28-6-19
(2)如图28-6-19②，连接EC，若⊙O的半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积.(结果保留π与根号)

答案：

(1)证明：如图D - 28 - 38，连接AB，BC. (1分)
∵点C是劣弧AB的中点，
∴⌢CA = ⌢CB，
∴CA = CB. (2分)
又
∵CD = CA，
∴CB = CD = CA.
∴在△ABD中，CB = 1/2AD，
∴∠ABD = 90°，
∴∠ABE = 90°，
∴AE是⊙O的直径. (5分)

(2)解：由
(1)可知，AE是⊙O的直径，
∴∠ACE = 90°. (6分)
∵⊙O的半径为5，
∴AE = 10，⊙O的面积为25π. (7分)
在Rt△ACE中，∠ACE = 90°，
由勾股定理，得CE = √(AE² - AC²) = √(10² - 4²) = 2√21，
∴S△ACE = 1/2AC·CE = 1/2×4×2√21 = 4√21，(9分)
∴S阴影 = 1/2S⊙O - S△ACE = 1/2×25π - 4√21 = 25π/2 - 4√21. (11分)

25. (本小题满分10分)如图28-6-20，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC = ∠APC = 60°，
(1)求证：△ABC是等边三角形.
　　　　　　　　　　 图28-6-20
(2)求圆心O到BC的距离OD的长.

答案：
(1)证明：
∵⌢AC = ⌢AC，
∴∠ABC = ∠APC = 60°. (2分)
∵∠BAC = 60°，
∴∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°，(4分)
∴△ABC是等边三角形. (5分)
(2)解：连接OB，则∠OBC = 30°. (6分)
∵OB = 8，
∴在Rt△OBD中，OD = 1/2OB = 1/2×8 = 4.
(10分)

26. (本小题满分12分)如图28-6-21，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD = BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠AED = ∠C.

(2)若∠AED = 55°，求∠BDF的度数.
(3)设DE交AB于点G，若DF = 4，cos B = $\frac{2}{3}$，E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，求EG·ED的值.

答案：

(1)证明：如图D - 28 - 39，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，即AD⊥BC.
(1分)
∵CD = BD，
∴AD垂直平分BC.
∴AB = AC.
∴∠B = ∠C.
又
∵∠B = ∠AED，
∴∠AED = ∠C. (3分)

(2)解：
∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD = 180° - ∠AED.
又
∵∠CFD = 180° - ∠AFD，
∴∠CFD = ∠AED = 55°. (5分)
又
∵∠AED = ∠C = 55°，
∴∠BDF = ∠C + ∠CFD = 110°. (7分)
(3)解：连接OE.
∵∠CFD = ∠AED = ∠C，
∴DF = CD = BD = 4.
∵在Rt△ABD中，cos B = 2/3，BD = 4，
∴AB = 6. (9分)
∵E是⌢AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE = 90°.
∵AO = OE = 3，
∴AE = 3√2.
∵E是⌢AB的中点，
∴∠ADE = ∠EAB.
∴△AEG∽△DEA.
∴AE/EG = ED/AE，即EG·ED = AE² = 18.
(12分)