《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

9. 如图J - 1B - 2,在四边形ABCD中,$AD// BC$,对角线AC,BD相交于点O,若$AD = 1$,$BC = 3$,则$\frac{OA}{OC}$的值为( )

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{9}$

答案： 9.B 解析：在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，由题意可知$\triangle OBC\sim\triangle ODA$，所以$\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$.

10. 已知$\alpha$,$\beta$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m + 3)x + m^{2}=0$的两个不相等的实数根,且满足$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-1$,则$m$的值是( )
A. 3或-1
B. 3
C. 1
D. -3或1

答案： 10.B 解析：根据条件$\alpha+\beta=-(2m + 3)$，$\alpha\beta=m^{2}$，$\therefore\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{-(2m + 3)}{m^{2}}=-1$，即$m^{2}-2m - 3 = 0$，$\therefore m_{1}=3$，$m_{2}=-1$.当$m=-1$时，$\Delta=(2m + 3)^{2}-4m^{2}=-3＜0$，故$m=-1$舍去，即$m = 3$.

11. 如图J - 1B - 3,在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,CE和BD交于点O,设$\triangle OCD$的面积为$s$,$\triangle OEB$的面积为$\sqrt{5}$,则下列结论中,正确的是( )

A. $s = 5$
B. $s = 4\sqrt{5}$
C. $s = 3\sqrt{5}$
D. $s = 10$

答案： 11.B 解析：$\because AB// CD$，$\therefore\triangle OCD\sim\triangle OEB$.又$\because E$是$AB$的中点，$\therefore 2EB = AB = CD$，$\therefore S_{\triangle OCD}:S_{\triangle OEB}=CD^{2}:BE^{2}=4:1$，即$s = 4\sqrt{5}$.

12. 如图J - 1B - 4,$\angle BAD=\angle C$,$DE\perp AB$于点E,$AF\perp BC$于点F,若$BD = 6$,$AB = 8$,则$DE:AF=$( )

A. 4:3
B. 3:4
C. 5:3
D. 5:4

答案： 12.B 解析：$\because DE\perp AB$，$AF\perp BC$，$\therefore\angle BED=\angle BFA = 90^{\circ}$.又$\because\angle B=\angle B$，$\therefore\triangle BED\sim\triangle BFA$，$\therefore DE:AF = BD:AB = 6:8 = 3:4$.

13. 如图J - 1B - 5,平面直角坐标系$xOy$中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),$\triangle AB'O'$是$\triangle ABO$关于点A的位似图形,且$O'$的坐标为(-1,0),则点$B'$的坐标为( )

A. $(\frac{5}{3},-4)$
B. $(-\frac{5}{3},4)$
C. $(-\frac{3}{4},\frac{5}{3})$
D. $(\frac{3}{4},-\frac{5}{3})$

答案：
13.A 解析：如图D-J1-5，点$A$，$B$的坐标分别为$(3,0)$，$(2,-3)$，$\triangle AB'O'$是$\triangle ABO$关于点$A$的位似图形，且$O'$的坐标为$(-1,0)$，过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，过点$B'$作$B'F\perp x$轴于点$F$，$\therefore\frac{AO}{AO'}=\frac{AB}{AB'}=\frac{3}{4}$，$AE = 1$，$EO = 2$，$BE = 3$.
$\therefore\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{B'F}=\frac{AB}{AB'}=\frac{3}{4}$，
$\therefore\frac{1}{AF}=\frac{3}{4}$，解得$AF=\frac{4}{3}$，
$\therefore FO = OA - AF = 3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$.
$\because\frac{3}{B'F}=\frac{3}{4}$，解得$B'F = 4$，
$\therefore$点$B'$的坐标为$(\frac{5}{3},-4)$.

14. 图J - 1B - 6中4个较大的四边形是正方形,每个正方形内部有一个用实线画出的四边形是矩形,两个四边形可能是位似图形的有( )

图J - 1B - 6
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 14.B 解析：根据位似图形的定义及平行线分线段成比例定理知图
(1)，
(3)中两个矩形都是正方形，符合位似图形的定义；图
(4)中的小矩形不是正方形，所以图
(4)中的两个四边形不是位似图形；而对于图
(2)，无论如何确定两个正方形的对应关系，对应点连线都不能交于一点，图中的虚线只是两个图形的对角线，图
(2)中的两个四边形不是位似图形，故选B.

15. 如图J - 1B - 7,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作$EF\perp AE$交DC于点F,连接AF.设$\frac{AB}{AD}=k$,下列结论:(1)$\triangle ABE\sim\triangle ECF$;(2)AE平分$\angle BAF$;(3)当$k = 1$时,$\triangle ABE\sim\triangle ADF$,正确的是( )

A. (1)(2)(3)
B. (1)(3)
C. (1)(2)
D. (2)(3)

答案： 15.C 解析：
(1)$\because$四边形$ABCD$为矩形，$\therefore\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.又$\because AE\perp EF$，$\therefore\angle AEB+\angle FEC = 90^{\circ}$.$\because\angle AEB+\angle BAE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle FEC=\angle BAE$，$\therefore\triangle ABE\sim\triangle ECF$.故
(1)正确.
(2)$\because\triangle ABE\sim\triangle ECF$，$\therefore\frac{EC}{AB}=\frac{EF}{AE}$.又$\because E$为$BC$的中点，$\therefore EC = BE$，$\therefore\frac{BE}{AB}=\frac{EF}{AE}$.又$\because\angle B=\angle AEF$，$\therefore\triangle ABE\sim\triangle AEF$，$\therefore\angle BAE=\angle EAF$，即$AE$平分$\angle BAF$，故
(2)正确.
(3)当$k = 1$时，$AB = AD$，$\therefore$矩形$ABCD$为正方形，$\therefore\angle B=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = BC = CD = AD$.$\because\triangle ABE\sim\triangle ECF$，$\therefore\frac{AB}{BE}=\frac{EC}{CF}=2$，$\therefore CF=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{4}CD$，$\therefore DF=\frac{3}{4}CD$，$\therefore\frac{AB}{BE}=2$，$\frac{AD}{DF}=\frac{4}{3}$，$\therefore\triangle ABE$与$\triangle ADF$不相似，故
(3)错误.