《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

19. 如图J - 2A - 13，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y = $\frac{1}{x}$(x ＞ 0)的图像上，则点B的坐标是________，点E的坐标是________。
　　　　　　

答案： $(1,1)$ $(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$ 解析:由四边形$OABC$为正方形可知$OA = AB$. 设点$B$坐标为$(m,m)$，把$(m,m)$代入$y=\frac{1}{x}$，得$m=\pm1$(负值舍去)，所以点$B$的坐标为$(1,1)$. 同理，由四边形$ADEF$为正方形，可设$AD = DE = a$，则点$E$坐标为$(1 + a,a)$，把$(1 + a,a)$代入$y=\frac{1}{x}$，解得$a=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. 因为$a\gt0$，所以$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$舍去，所以点$E$的坐标为$(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2})$.

20. (本小题满分8分)已知关于x的一元二次方程x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根。
(2) 若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

答案：
(1)证明:$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$中，$a = 1$，$b=-(2k + 1)$，$c = k^{2}+k$，$\therefore \Delta = b^{2}-4ac=[-(2k + 1)]^{2}-4\times1\times(k^{2}+k)=1\gt0$. $\therefore$方程有两个不相等的实数根. (3分)
(2)解:由$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，得$(x - k)[x-(k + 1)]=0$，$\therefore$方程的两个不相等的实数根为$x_{1}=k$，$x_{2}=k + 1$. (5分) $\because \triangle ABC$的两边$AB$，$AC$的长是方程的两个实数根，第三边$BC$的长为5，若$\triangle ABC$是等腰三角形，则有如下两种情况: 情况1:$x_{1}=k = 5$，此时$k = 5$，满足三角形构成条件; (6分) 情况2:$x_{2}=k + 1 = 5$，此时$k = 4$，满足三角形构成条件. (7分) 综上所述，$k = 4$或$k = 5$. (8分)

21. (本小题满分9分)长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望。为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售。
(1) 求平均每次下调的百分率。
(2) 某人准备以开盘均价购买一套100 m²的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元。请问哪种方案更优惠？

答案： 解:
(1)设平均每次下调的百分率是$x$，依题意得$5000(1 - x)^{2}=4050$，(2分)解得$x_{1}=10\%$，$x_{2}=\frac{19}{10}$(不合题意，舍去). 答:平均每次下调的百分率为10%. (4分)
(2)方案①优惠:$4050\times100\times(1 - 0.98)=8100$(元); (6分) 方案②优惠:$1.5\times100\times12\times2 = 3600$(元). (8分) $\because 8100\gt3600$，$\therefore$选方案①更优惠. (9分)

22. (本小题满分9分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图J - 2A - 14。
　　　
根据图中信息，回答下列问题：
(1) 甲的平均数是________，乙的中位数是________。
(2) 分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？

答案： 解:
(1)8 7.5 (4分) 甲的平均数$=\frac{6 + 10 + 8 + 9 + 8 + 7 + 8 + 10 + 7 + 7}{10}=8$，乙的中位数是7.5.
(2)$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{10}(7 + 10+\cdots + 7)=8$;$s_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[(6 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+\cdots+(7 - 8)^{2}]=1.6$，$s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(7 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+\cdots+(7 - 8)^{2}]=1.2$. (8分) $\because s_{乙}^{2}\lt s_{甲}^{2}$，$\therefore$乙运动员的射击成绩更稳定. (9分)