《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

9.如图28 - 5 - 16，在扇形AOB中，∠AOB = 90°，以点A为圆心，OA的长为半径作$\overset{\frown}{OC}$交$\overset{\frown}{AB}$于点C.如果OA = 2，那么阴影部分的面积为________.

答案：
$\sqrt{3}$−$\frac{π}{3}$　解析:如图D−28−26,连接AC,OC,易证△OAC是等边三角形，∠COA=∠OAC=60°.由于等边三角形OAC的边长为2,可求得S△OAC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.根据扇形的面积公式得S扇形OAC=$\frac{60π×2^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π,S①=S②=S扇形OAC −S△OAC=$\frac{2}{3}$π−$\sqrt{3}$,
∴S空白部分=S扇形OAC+S②=$\frac{2}{3}$π+$\frac{2}{3}$π−$\sqrt{3}$=$\frac{4π}{3}$−$\sqrt{3}$,
∴S阴影部分=$\frac{90π×2^{2}}{360}$−($\frac{4π}{3}$−$\sqrt{3}$)=$\sqrt{3}$−$\frac{π}{3}$.

10.如图28 - 5 - 17，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB = 1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC = 2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD = 4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE = 8为直径画半圆，记为第4个半圆；….
按此规律，继续画，则第4个半圆的面积是第3个半圆的面积的________倍，第n个半圆的面积为________(结果保留π).

答案： 4 2^{2n - 5}π 解析：
∵第3个半圆的面积为$\frac{π×2^{2}}{2}$=2π，第4个半圆的面积为$\frac{π×4^{2}}{2}$=8π，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆的面积的4倍.第1个半圆的直径为1 = 2^{0}；第2个半圆的直径为2 = 2^{1}；第3个半圆的直径为4 = 2^{2}；第4个半圆的直径为8 = 2^{3}，
∴第n个半圆的直径为2^{n - 1}，半径为2^{n - 2}，
∴面积为$\frac{π×(2^{n - 2})^{2}}{2}$=2^{2n - 5}π.

11.如图28 - 5 - 18，有一圆锥形粮堆，其横截面图为边长是6 m的正三角形ABC，粮堆的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫经过的最短路程是多少?

答案：
解:圆锥侧面展开后的扇形如图D−28−27，设该扇形的圆心角为n°,由展开扇形的圆弧长等于底面圆周长，可得$\frac{nπ·AC}{180}$=π·BC(BC为底面圆直径).
∵AC=BC,
∴n=180.故在展开后的扇形图中,∠BAC=$\frac{1}{2}$×180° =90°,
∴点B到P的最短距离BP=$\sqrt{AB^{2}+AP^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$(m),即小猫经过的最短路程是3$\sqrt{5}$m.

12.如图28 - 5 - 19，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD//OB交⊙O于D，F两点，且CD = $\sqrt{3}$，以点O为圆心，OC为半径作$\overset{\frown}{CE}$，交OB于点E.
(1)求⊙O的半径OA的长.

(2)计算阴影部分的面积.

答案：
分析:
(1)首先证明∠OCD=90°,由C是OA的中点，得OC =$\frac{1}{2}$OA，由同圆的半径相等，可知OD = OA，由此推出OD = 2OC，设OC = x，则OD = 2x，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可解决问题;
(2)由题意，得S阴影=S△COD+S扇形BOD−S扇形COE，由此可求出阴影部分的面积.
解:
(1)如图D−28−28,连接OD.
∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°.
∵CD//OB,
∴∠OCD=90°.
∵C是AO的中点，
∴OC =$\frac{1}{2}$OA.
∴OD=OA=2OC.在Rt△OCD中,设OC =x,则OD =2x.由勾股定理，得OC²+CD²=OD²,
∴x²+($\sqrt{3}$)²=(2x)²,解得x =1,
∴OD =2x =2.
∴⊙O的半径OA的长为2.
(2)
∵sin∠CDO=$\frac{CO}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CDO =30°.
∵FD//OB,
∴∠DOB =∠CDO =30°.
∴S阴影=S△COD+S扇形BOD−S扇形COE
=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{30×π×2^{2}}{360}$-$\frac{90×π×1^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{12}$.