《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

6. 如图26−1−15，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD = BE，AE与CD交于点F，如果AG⊥CD于点G，那么$\frac{AG}{AF}$的值为________。
　　　　　　　
三、解答题

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解析：由已知条件可证$\triangle ACE\cong\triangle CBD$，从而得出$\angle CAE=\angle BCD$。$\therefore \angle AFG=\angle CAE+\angle ACD=\angle BCD+\angle ACD = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AFG$中，$\sin60^{\circ}=\frac{AG}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

7. 求下列各式的值：
(1)2cos 60° - $\sqrt{2}$tan 45° + 2sin 45°；
(2)-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos²45°·sin 60° + $\frac{1}{6}$sin 30° + tan 45°；
(3)cos 60°·cos 45° - sin²45° + (-cos 60°)²。

答案： 解：
(1)原式$=2\times\frac{1}{2}-\sqrt{2}\times1 + 2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
(2)原式$=-\frac{\sqrt{3}}{3}\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}+1=\frac{5}{6}$。
(3)原式$=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{2}-1}{4}$。

8. 如图26−1−16，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B = cos∠DAC。
(1)求证：AC = BD。
　　　　　　　　　
(2)若sin C = $\frac{12}{13}$，BC = 12，求AD的长。

答案：
(1)证明：$\because AD$是 BC 上的高，$\therefore AD\perp BC$。
$\therefore \angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ADC$中，
$\because \tan B=\frac{AD}{BD}$，$\cos\angle DAC=\frac{AD}{AC}$，
又$\because \tan B=\cos\angle DAC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AC}$。$\therefore AC = BD$。
(2)解：在$Rt\triangle ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，
故可设$AD = 12k(k\gt0)$，则$AC = 13k$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}} = 5k$。
$\because BC = BD + CD$，$AC = BD$，
$\therefore BC = 13k + 5k = 18k$。
$\because BC = 12$，$\therefore 18k = 12$。$\therefore k=\frac{2}{3}$。
$\therefore AD = 12k = 12\times\frac{2}{3}=8$。