《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

例4 如图28 - 5 - 6，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 20 cm，BC = 15 cm，以直线AB为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积.

分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和，其中AB所在的直线为旋转轴，OC为旋转半径，OC就是△ABC中AB边上的高，可用等积法求得OC，旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC和BC.
解：在△ABC中，
∠ACB = 90°，AC = 20 cm，BC = 15 cm，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{20^{2}+15^{2}}$ = 25(cm).
∵AB所在的直线为旋转轴，
∴旋转半径OC = $\frac{AC\cdot BC}{AB}$ = $\frac{20\times15}{25}$ = 12(cm)，且旋转所得为两个共底的圆锥.
设S1为上面圆锥的侧面积，S2为下面圆锥的侧面积，则
S1 = πrl = πOC·AC = π×12×20 = 240π(cm²)，
S2 = πrl′ = πOC·BC = π×12×15 = 180π(cm²)，
∴所得几何体的表面积S = S1 + S2 = 420π cm².
点拨：解决本题的关键是借助直角三角形三边的关系求出圆锥底面半径OC的长.

答案：