《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

1.一元二次方程$x^{2}-2x = 0$的根是( )
A.$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$
B.$x_{1}=1$，$x_{2}=2$
C.$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$
D.$x_{1}=0$，$x_{2}=2$

答案： D解析:由$x^{2}-2x = 0$,可知$x(x - 2)=0$,故$x = 0$或$x - 2 = 0$,$\therefore$方程的根是$x_{1}=0$,$x_{2}=2$

2.方程$x(x - 2)+x - 2 = 0$的解是( )
A.2
B.-2，1
C.-1
D.2，-1

答案： D解析:$\because x(x - 2)+(x - 2)=0$,$\therefore (x - 2)(x + 1)=0$,$\therefore x - 2 = 0$或$x + 1 = 0$,$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-1$

3.我们解一元二次方程$3x^{2}-6x = 0$时，可以运用因式分解法，将此方程化为$3x(x - 2)=0$，从而得到两个一元一次方程：$3x = 0$或$x - 2 = 0$，进而得到原方程的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=2$.这种解法体现的数学思想是( )
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想

答案： A解析:这种解法的实质是把求一元二次方程的解的问题转化成求一元一次方程的解的问题,体现的是转化思想

4.方程$x(x - 1)=x$的解是________.

答案： $x_{1}=0$,$x_{2}=2$

5.将4个数$a$，$b$，$c$，$d$排成2行2列，两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad - bc$，上述记号就叫做2阶行列式.若$\begin{vmatrix}x + 1&1 - x\\x - 1&x + 1\end{vmatrix}=6$，则$x$=________.

答案： $\pm\sqrt{2}$解析:$\because$定义$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad - bc$,且$\begin{vmatrix}x + 1&1 - x\\x - 1&x + 1\end{vmatrix}=6$,$\therefore (x + 1)^{2}-(x - 1)(1 - x)=(x + 1)^{2}+(x - 1)^{2}=6$,化简得$x^{2}=2$,即$x=\pm\sqrt{2}$

6.解一元二次方程$x^{2}+2x - 3 = 0$时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________.

答案： $x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$解析:将$x^{2}+2x - 3$分解因式,得$x^{2}+2x - 3=(x + 3)(x - 1)$.$\because x^{2}+2x - 3 = 0$,$\therefore (x + 3)(x - 1)=0$,则有$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$

7.用因式分解法解下列方程.
(1)$3x(x + 2)=5(x + 2)$；
(2)$(x + 1)^{2}=4(x - 2)^{2}$.

答案： 解:
(1)移项,得$3x(x + 2)-5(x + 2)=0$,$\therefore (x + 2)(3x - 5)=0$,$\therefore x + 2 = 0$或$3x - 5 = 0$,$\therefore x_{1}=-2$,$x_{2}=\frac{5}{3}$
(2)移项,得$(x + 1)^{2}-4(x - 2)^{2}=0$,$\therefore [(x + 1)+2(x - 2)][(x + 1)-2(x - 2)]=0$,$\therefore 3x - 3 = 0$或$-x + 5 = 0$,$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=5$
点拨:用因式分解法解一元二次方程时,先把方程右边化为0,再提公因式或利用公式进行因式分解

8.阅读材料，回答问题：
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0$，我们可以将$(x^{2}-1)$视为一个整体，然后设$x^{2}-1 = y$，则$(x^{2}-1)^{2}=y^{2}$，原方程转化为$y^{2}-5y + 4 = 0$.
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=4$.
当$y = 1$时，$x^{2}-1 = 1$，
∴$x^{2}=2$，∴$x=\pm\sqrt{2}$.
当$y = 4$时，$x^{2}-1 = 4$，∴$x^{2}=5$，
∴$x=\pm\sqrt{5}$.
(1)在由原方程得到方程$y^{2}-5y + 4 = 0$的过程中，利用换元法达到了________的目的.
(2)依据此法解方程：$x^{4}-2x^{2}+1 = 0$.

答案： 解:
(1)降次
(2)设$x^{2}=y$,则原方程可化为$y^{2}-2y + 1 = 0$,$\therefore y_{1}=y_{2}=1$,$\therefore x^{2}=1$,$\therefore x=\pm1$,即原方程的根为$x_{1}=x_{2}=1$,$x_{3}=x_{4}=-1$