《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

12.如图29 - 1 - 5，⊙O的直径AB=8，∠CBA = 30°，BC = 8$\sqrt{3}$，若D是线段BC的中点，试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.

答案：
解：点D在⊙O上. 理由如下：如图D - 29 - 3，连接OD，过点O作OE⊥BC于点E.

∵⊙O的直径AB = 8，
∴OB = $\frac{1}{2}AB = 4$.
∵在Rt△BOE中，∠B = 30°，
∴BE = OB·cos 30° = 4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $2\sqrt{3}$，OE = $\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}\times4 = 2$.
∵BD = $\frac{1}{2}BC = 4\sqrt{3}$，
∴DE = $2\sqrt{3}$. 在Rt△ODE中，
∵OD = $\sqrt{DE^{2}+OE^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$ = $\sqrt{12 + 4}$ = 4 = OB，
∴点D在⊙O上. 点拨：要判断点D与⊙O的位置关系，只需比较OD的长度与⊙O的半径的大小关系即可.

13.如图29 - 1 - 6，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P'在射线OP上，满足OP'·OP = r²，则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”.如图29 - 1 - 7，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA = 60°，OA = 8，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A'B'的长.

答案：
解：
∵⊙O的半径为4，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上，OA = 8，
∴OA′·OA = 4²，OB′·OB = 4²，即OA′·8 = 4²，OB′·4 = 4².
∴OA′ = 2，OB′ = 4.
∴点B的反演点B′与点B重合. 如图D - 29 - 4，设OA交⊙O于点M，连接B′M.

∵OM = OB′，∠BOA = 60°，
∴△OB′M是等边三角形.
∵OA′ = A′M = 2，
∴B′A′⊥OM.
∴在Rt△OB′A′中，由勾股定理，得A′B′ = $\sqrt{(OB′)^{2}-(OA′)^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-2^{2}}$ = $2\sqrt{3}$.