《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

1. 如图29 - 4 - 3，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( )
　　　　　　　　
A. 2
B. 3
C. $\sqrt{3}$
D. 2$\sqrt{3}$

答案：
1.D　解析:如图D−29−20,△ABC为正三角形，设边BC与⊙O相切于点D,连接OB,OD,则∠BOD = 60°,OD = 1,∠BDO = 90°。
在Rt△BDO中,tan∠BOD = $\frac{BD}{OD}$，
∴BD = 1×tan60° = $\sqrt{3}$，
∴BC = 2BD = 2$\sqrt{3}$

2. 如图29 - 4 - 4，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG = $\sqrt{2}$ - 1，则△ABC的周长为( )
　　　　　　
A. 4 + 2$\sqrt{2}$
B. 6
C. 2 + 2$\sqrt{2}$
D. 4

答案：
2.A　解析:如图D−29−21,连接OE,OD,则OE⊥BC,OD⊥AC,又∠C = 90°,OD = OE,
∴四边形ODCE是正方形,△BOE∽△BAC,
∴$\frac{OE}{AC}$ = $\frac{OB}{AB}$。设半圆O的半径为r，
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC = BC = 2r,AB = 2$\sqrt{2}$r,
∴$\frac{r}{2r}$ = $\frac{r + \sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}r}$，解得r = 1,则△ABC的周长为AB + AC + BC = 2$\sqrt{2}$r + 2r + 2r = (4 + 2$\sqrt{2}$)r = 4 + 2$\sqrt{2}$。
点拨:
(1)已知圆的切线，一般要作出经过切点的半径，根据切线的性质可以得到直角;
(2)利用相似三角形的性质列出比例式是求线段长度常用的方法之一。

3. 如图29 - 4 - 5，CA，CD分别切⊙O₁于A，D两点，CB，CE分别切⊙O₂于B，E两点. 若∠1 = 60°，∠2 = 65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )
　　　　　　
A. AB＞CE＞CD
B. AB = CE＞CD
C. AB＞CD＞CE
D. AB = CD = CE

答案： 3.A　解析:
∵∠1 = 60°,∠2 = 65°,
∴∠ABC = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 60° - 65° = 55°,
∴∠2＞∠1＞∠ABC,
∴AB＞BC＞AC。
∵CA,CD分别切⊙O₁于A,D两点,CB,CE分别切⊙O₂于B,E两点,
∴AC = CD,BC = CE,
∴AB＞CE ＞CD。故选A。

4. 如图29 - 4 - 6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠BOC = 140°，则∠I为( )
　　　　　　
A. 140°
B. 125°
C. 130°
D. 110°

答案： 4.B　解析:
∵点O为△ABC的外心，以点O为圆心，OA长为半径作圆(图略)，
∴∠BOC,∠A分别是劣弧BC所对的圆心角、圆周角，
∴∠BOC = 2∠A,
∴∠A = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。又
∵I为△ABC的内心，
∴∠I = 180° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠ACB = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 125°。

5. 若直角三角形斜边长为10 cm，其内切圆的半径为2 cm，则直角三角形的周长为( )
A. 24 cm
B. 2 cm
C. 14 cm
D. 12 cm

答案：
5.A　解析:如图D−29−22,
由题意可知AE + BF = AB = 10cm,
FC + EC = 2r = 4cm。
故直角三角形周长为10 + 10 + 4 = 24(cm)。

6. 如图29 - 4 - 7，PA，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P = 70°，那么∠C的大小为________.
　　　　　　

答案：
6.55°　解析:如图D−29−23,分别连接AO,BO,则AO ⊥PA,BO⊥PB。在四边形APBO中,∠P + ∠PAO + ∠AOB + ∠OBP = 360°,∠P = 70°,∠PAO = ∠OBP = 90°,
∴∠AOB = 110°,
∴∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = 55°