《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

22.(本小题满分10分)已知：如图29-6-14，在△ABC中，AB = AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证：∠BCP = ∠BAN.
(2)求证：$\frac{AM}{MN}=\frac{CB}{BP}$.

答案：
证明：（1）如图 D-29-45，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ANC = 90°.
∴AN⊥BC.
又
∵AB = AC，
∴∠1 = ∠2. …………（2 分）
∵CP 切⊙O 于点 C，
∴CP⊥AC.
∴∠3 + ∠4 = 90°.
∵∠1 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠4.
∴∠2 = ∠4，即∠BCP = ∠BAN. ……（4 分）

（2）如图 D-29-45，
∵AB = AC，
∴∠3 = ∠5.
又
∵四边形 AMNC 为⊙O 的内接四边形，
∴∠3 + ∠AMN = 180°. ………………（7 分）
又
∵∠5 + ∠CBP = 180°，
∴∠AMN = ∠CBP.
又
∵∠2 = ∠4，
∴△AMN∽△CBP.
∴$\frac{AM}{MN}$ = $\frac{CB}{BP}$. ………………………（10 分）

23.(本小题满分10分)如图29-6-15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.
(1)求证：∠BAD = ∠E.
(2)若⊙O的半径为5，AC = 8，求BE的长.

答案：
（1）证明：
∵⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 为⊙O 的直径，
∴∠ABE = 90°. ………………（2 分）
∴∠BAE + ∠E = 90°.
又
∵∠DAE = 90°，
∴∠BAD + ∠BAE = 90°.
∴∠BAD = ∠E. ………………………（4 分）
（2）解：如图 D-29-46，连接 BC.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵AC = 8，AB = 2×5 = 10，
∴BC = $\sqrt{AB² - AC²}$ = 6. ……………（7 分）
又
∵∠BCA = ∠ABE = 90°，∠BAD = ∠E，
∴△ABC∽△EAB.
∴$\frac{AC}{EB}$ = $\frac{BC}{AB}$.
∴$\frac{8}{EB}$ = $\frac{6}{10}$.
∴BE = $\frac{40}{3}$. ……………（10 分）

24.(本小题满分11分)如图29-6-16，在△ABC中，BA = BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证：∠ABC = 2∠CAF.
(2)若AC = $2\sqrt{10}$，CE : EB = 1 : 4，求CE的长.

答案：
（1）证明：如图 D-29-47，连接 BD.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°，
………………（2 分）
∴∠DAB + ∠ABD = 90°.
∵AF 是⊙O 的切线，
∴∠FAB = 90°，
即∠DAB + ∠CAF = 90°，
∴∠CAF = ∠ABD. …………………（5 分）
∵BA = BC，∠ADB = 90°，
∴∠ABC = 2∠ABD，
∴∠ABC = 2∠CAF. …………………（6 分）

（2）解：如图 D-29-47，连接 AE，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB = 90°.
………………（7 分）
设 CE = x，
∵CE：EB = 1：4，
∴EB = 4x，BA = BC = 5x，AE = 3x.
……………………………………（9 分）
在 Rt△AEC 中，AC² = CE² + AE²，
∵AC = 2$\sqrt{10}$，即(2$\sqrt{10}$)² = x² + (3x)²，
∴x = 2，即 CE = 2. …………………（11 分）

25.(本小题满分11分)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：
甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形. 如圆内接矩形不一定是正方形.
乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形.
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形. 如图29-6-17，△ABC是正三角形，$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BE}$、$\overset{\frown}{CF}$均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形.
(1)如图29-6-18，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，求∠ABC的度数，并且请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由.
(2)如图29-6-17，请说明丙同学构造的六边形各内角相等.
(3)根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n(n≥3，n为整数)”的关系，提出你的猜想(不需证明).

答案： 解：（1）
∵五边形的内角和 = (5 - 2)×180° = 540°，且各内角均相等，
∴∠ABC = $\frac{540°}{5}$ = 108°. ………………（2 分）
理由：
∵∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E，∠A 对着$\overset{\frown}{BDE}$，∠B 对着$\overset{\frown}{CDA}$，
∴$\overset{\frown}{BDE}$ = $\overset{\frown}{CDA}$，
……………………………………（4 分）
∴$\overset{\frown}{BDE}$ - $\overset{\frown}{CDE}$ = $\overset{\frown}{CDA}$ - $\overset{\frown}{CDE}$，即$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{AE}$，
∴BC = AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形. …………………………（6 分）
（2）由图易知∠AFC 对着$\overset{\frown}{ABC}$，
∵$\overset{\frown}{CF}$ = $\overset{\frown}{DA}$，而∠DAF 对着$\overset{\frown}{DEF}$，$\overset{\frown}{DEF}$ = $\overset{\frown}{DBC}$ + $\overset{\frown}{CF}$ = $\overset{\frown}{AD}$ + $\overset{\frown}{DBC}$ = $\overset{\frown}{ABC}$，
∴∠AFC = ∠DAF.
同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故此六边形各角相等. …………………（9 分）
（3）当 n（n≥3，n 为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；当 n（n≥3，n 为整数）是偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定是正多边形. …………………（11 分）