《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

9. 如图J - 1A - 3，在梯形ABCD中，$AD// BC$，$\angle B=\angle ACD = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$DC = 3$，则$\triangle ABC$与$\triangle DCA$的面积比为(　　　)
　　　　　
A. 2∶3　　　　　　
　B. 2∶5
C. 4∶9　　　　　　
　D. $\sqrt{2}:\sqrt{3}$

答案： C 解析：
∵$AD// BC$，
∴$\angle ACB=\angle DAC$.
又
∵$\angle B=\angle ACD = 90^{\circ}$，
∴$\triangle CBA\sim\triangle ACD$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DC}$.
∵$AB = 2$，$DC = 3$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DC}=\frac{2}{3}$，
∴$\triangle ABC$与$\triangle DCA$的面积比为4∶9.

10. 如图J - 1A - 4，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，如果$AE = 2ED$，$CD = 3$cm，那么AF的长为(　　　)
　　　　　　
A. 5cm　　　　　　
　B. 6cm
C. 7cm　　　　　　
　D. 8cm

答案： B 解析：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质.
∵$AB// CD$，
∴$\angle F=\angle ECD$，$\angle FAE=\angle D$，
∴$\triangle AEF\sim\triangle DEC$，
∴$\frac{AF}{DC}=\frac{AE}{DE}$.
∵$AE = 2ED$，
∴$\frac{AF}{DC}=\frac{2ED}{DE}=2$.
又
∵$CD = 3$ cm，
∴$AF = 2CD = 6$ cm.

11. 如图J - 1A - 5，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE。若$DE:AC = 3:5$，则$\frac{AD}{AB}$的值为(　　　)
　　　　　　
A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　
　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　
　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
A 解析：如图D-J1-1，设AE与CD交于点O，根据折叠的性质和矩形的性质可以证明$CE = CB = AD$，$OA = OC$，则$\triangle AOD\cong\triangle COE$，所以$OD = OE$，则$\triangle AOC\sim\triangle EOD$.
所以$\frac{DO}{OC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$.
设$DO = 3x$，$OC = 5x$，则$AD=\sqrt{(5x)^{2}-(3x)^{2}}=4x$，$AB = CD = 8x$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$.

12. 若在实数范围内定义一种运算“*”，使$a*b=(a + 1)^{2}-ab$，则方程$(x + 2)*5 = 0$的解为(　　　)
A. $x=-2$
B. $x=-2$或$x = 3$
C. $x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
D. $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

答案： D 解析：依题意，可将所求方程转化为$(x + 3)^{2}-5(x + 2)=0$，化简得$x^{2}+x - 1 = 0$，解得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

13. 如图J - 1A - 6，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把$\triangle ABC$沿着AD方向平移，得到$\triangle A'B'C'$。若两个三角形重叠部分的面积为1 cm²，则它移动的距离$AA'$等于(　　　)
　
　　　　　　图J - 1A - 6
A. 0.5cm　　　　　
　B. 1cm
C. 1.5cm　　　　　
　D. 2cm

答案：
B 解析：如图D-J1-2，设AC交$A'B'$于点H.
∵$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle D = 90^{\circ}$，
∴$\triangle A'HA$是等腰直角三角形.
设$AA' = x$ cm，则$A'H$的长为x cm，$A'D=(2 - x)$cm，
∴$x\cdot(2 - x)=1$，
∴$x = 1$，即$AA' = 1$ cm.

14. 如图J - 1A - 7，在$\triangle ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中，不正确的是(　　　)
　　　　　　
A. $DE=\frac{1}{2}BC$
B. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
C. $\triangle ADE\sim\triangle ABC$
D. $S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=1:2$

答案： D 解析：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.
∵$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AB})^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$.
∴$S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=1:4$.
∴A，B，C选项说法正确，D选项说法错误.