《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

10. 图30 - 4 - 12中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m。从O，A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα = $\frac{1}{2}$，tanβ = $\frac{3}{2}$，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系。

(1)求点P的坐标。
(2)水面上升1 m，水面宽是多少($\sqrt{2}$取1.41，结果精确到0.1 m)?

答案：
解:
(1)如图 D - 30 - 12,过点$P$作$PB\perp OA$,垂足为$B$,设点$P$的坐标为$(x,y)$.

在$Rt\triangle POB$中,$\because\tan\alpha=\frac{PB}{OB}$,$\therefore OB = \frac{PB}{\tan\alpha}=2y$.在$Rt\triangle PAB$中,$\because\tan\beta=\frac{PB}{AB}$,$\therefore AB = \frac{PB}{\tan\beta}=\frac{2}{3}y$.$\because OA = OB + AB$,即$2y+\frac{2}{3}y = 4$.$\therefore y = \frac{3}{2}$,$\therefore x = 2\times\frac{3}{2}=3$.$\therefore$点$P$的坐标为$(3,\frac{3}{2})$.
(2)设这条抛物线表示的二次函数为$y = ax^{2}+bx$.由函数$y = ax^{2}+bx$的图像经过$(4,0)$,$(3,\frac{3}{2})$两点,可得$\begin{cases}16a + 4b = 0,\\9a + 3b = \frac{3}{2},\end{cases}$解方程组,得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = 2.\end{cases}$这条抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+2x$.当水面上升$1\text{ m}$时,水面的纵坐标为$1$,即$-\frac{1}{2}x^{2}+2x = 1$.解方程,得$x_{1}=2-\sqrt{2}$,$x_{2}=2+\sqrt{2}$.$x_{2}-x_{1}=2+\sqrt{2}-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}\approx2.8$.因此,水面上升$1\text{ m}$,水面宽约$2.8\text{ m}$.

11. 如图30 - 4 - 13，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B。有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内。已知AB = 4 m，AC = 3 m，网球飞行的最大高度OM = 5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)。

(1)当竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
(2)当竖直摆放圆柱形桶为多少个时，网球可以落入桶内？

答案：
分析:建立如图 D - 30 - 13 所示的平面直角坐标系,可表示出点$M$,$B$,$C$,$D$的坐标,求出抛物线表达式. 根据题意计算$x = 1$和$x = \frac{3}{2}$时,抛物线上点$P$,$Q$的纵坐标,当$y_{Q}＜桶高＜y_{P}$时,网球可以落入桶内,否则不能落入桶内.

解:
(1)以点$O$为原点,$AB$所在直线为$x$轴建立如图 D - 30 - 13 所示的直角坐标系,则有$M(0,5)$,$B(2,0)$,$C(1,0)$,$D(\frac{3}{2},0)$.设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+c$,$\because$抛物线过点$M$,$B$,则$\begin{cases}c = 5,\\4a + c = 0,\end{cases}$解得$a = -\frac{5}{4}$,$c = 5$,$\therefore$抛物线的表达式为$y = -\frac{5}{4}x^{2}+5$.当$x = 1$时,$y = \frac{15}{4}$;当$x = \frac{3}{2}$时,$y = \frac{35}{16}$.即点$P(1,\frac{15}{4})$,$Q(\frac{3}{2},\frac{35}{16})$.当竖直摆放$5$个圆柱形桶时,桶高为$\frac{3}{10}\times5=\frac{3}{2}$(米).$\because\frac{3}{2}＜\frac{15}{4}$且$\frac{3}{2}＜\frac{35}{16}$,$\therefore$网球不能落入桶内.
(2)设竖直摆放圆柱形桶$m$个时,网球可以落入桶内,当$y_{Q}＜桶高＜y_{P}$时,网球可以落入桶内,即$\frac{35}{16}＜\frac{3}{10}m＜\frac{15}{4}$,解得$7\frac{7}{24}＜m＜12\frac{1}{2}$.$\because m$为整数,$\therefore m$的值为$8$,$9$,$10$,$11$,$12$.$\therefore$当竖直摆放的圆柱形桶为$8$,$9$,$10$,$11$或$12$个时,网球可以落入桶内.